ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ДОКАЗЫВАНИИ НЕРАВЕНСТВА

ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ДОКАЗЫВАНИИ НЕРАВЕНСТВА

Севачян Мане Гагиковна

студент, Армянский государственный педагогический университет,

Республика Армения, г. Ереван

APPLICATION OF A CERTAIN INTEGRAL SYSTEM IN PROVING THE INEQUALITY

АННОТАЦИЯ

В современной математической науке, неравенства представляют собой очень важную категорию. Более того, неравенства применяются и в других науках, таких как физика, экономика и др. Но в настоящее время отсутствует четко сформированная «теория неравенств» общего типа, хотя для доказательства некоторых типов неравенств подобная теория была разработана – это и некоторые разделы выпуклого анализа, и теория мажоризации, и ряд других. В настоящее время есть большое количество способов доказательства неравенств. Автор рассматривает в настоящей статье лишь один из этих способов, а именно использование определенной интегральной системы.

ABSTRACT

In modern mathematical science, inequalities are a very important category. Moreover, inequalities are also applied in other sciences, such as physics, economics, etc. But at present there is no well-formed "theory of inequalities" of a general type, although a similar theory has been developed to prove some types of inequalities – these are some sections of convex analysis, the theory of majorization, and a number of others. Currently, there are a large number of ways to prove inequalities. The author considers in this article only one of these methods, namely the use of a certain integrated system.

Ключевые слова: математическая наука, интеграл, интегральная система, неравенство, система неравенств, метод прямоугольников, метод трапеции.

Keywords: mathematical science, integral, integral system, inequality, system of inequalities, rectangle method, square method.

Использование определенной интегральной системы при доказывании неравенств опирается на использование геометрического понятия определенного интеграла и монотонности площади.

Обратим внимание на рисунок 1. Если функция  носит непрерывный и неотрицательный характер на определенном отрезке, в данном случае на отрезке [a; b], то площадь S трапеции криволинейного типа может быть определена с помощи формулы, имеющей следующий вид: . В этом и заключается основной геометрический смысл определенного интеграла [2].

Рисунок 1. Геометрический смысл определенного интеграла

Свойство монотонности площади заключается в следующем, если фигура F₁ входит в структуру фигуры F, то показатель ее площади S₁ является меньше, чем показатель площадь S фигуры F. Другими словами, если , то S₁<S.

Наиболее популярными методами доказывания неравенств, которые основаны на применении определенной интегральной системы [4]:

- метод прямоугольников;

- метод трапеций.

Проанализируем основную суть этих методов, а затем рассмотрим их на примере конкретных задач.

Метод прямоугольников. На рисунке 2 представлено графическое изображение метода прямоугольников.

Рисунок 2. Метод прямоугольников

Пусть некоторая функция f носит монотонный характер и является ограниченной за счет отрезка [a; b]. Кроме того, рассматриваемая функция является строго убывающей (рис. 2).

Показатель площади рассматриваемого подграфика может быть проанализирована как сверху, так и снизу за счет показателей площадей прямоугольников ACDF и ABEF. Другими словами:

                                                         (1)

Для того, чтобы получить более точные оценки необходимо осуществить разбивку отрезка [a; b] на несколько частей. На каждой из частей должны быть указана оценка (1). К примеру, подвергнем анализу такую функциональную зависимость, как  Рассматривать данную функцию предлагаем на определенном промежутке, а именно [1; n], где n – любое натуральное число. Осуществляя разбивку данной функции на части, а вернее на отрезки [1; 2], [2; 3], …, [n-1; n] и используя формулу (1) на каждом из полученных отрезков имеем:  Тем самым

Метод трапеций. Данный метод позволяет проводить более точное оценивание неравенств (рис. 3).

Рисунок 3. Метод трапеций

Пусть функциональная зависимость f, которая изображена на рисунке 3 и находится в рамках отрезка [a; b], носит выпуклый характер.

Другими словами, для любых значений для x и y, которые находятся на отрезке [a; b] хорда, которая соединяет токи рассматриваемого графика, располагается выше соответствующего участка зависимости [3].

Это обусловлено тем, что показатель площади подграфика имеет меньшее значение показателя площади трапеции ABCD, и поэтому

Для того, чтобы получить оценку необходимо на графике выполнить дополнительные построения, а именно построить касательную к зависимости в точке, абсцисса которой равна  (рис. 4).

Рисунок 4. Дополнительные построение касательной

Исходя из того, что показатель площади подграфика превышает показатель площади трапеции, то в этом случае

Итак, для функциональных зависимостей, график которых является выпуклым справедливой считается следующая формула:

                                      (2)

В данном случае, так как и в прошлом рассмотренном способе, рассматриваемый промежуток должен быть разделен на несколько частей, над каждой из часть пишется оценка (2).

Для примера, рассмотри ту же функцию, а именно  Рассматривать данную функцию предлагаем на определенном промежутке, а именно [1; n], где n – любое натуральное число. Осуществляя разбивку данной функции на части, а вернее на отрезки [1; 2], [2; 3], …, [n-1; n] и используя формулу (2) на каждом из полученных отрезков имеем:

Таким образом, получаем:

В рамках данной статьи нами были рассмотрены два основных способы использования определенных интегральных системы для доказывания неравенств. Рассмотрим пример использования этих способов.

Задача. Пусть n является любым натуральным числом, которое удовлетворяет следующему условию: . Необходимо привести доказательство того, что в этом случае является справедливым следующее неравенство:

  [1]

Доказательство. Проанализируем функциональную зависимость  на отрезке [0; n]. Неравенство, располагаемое справа получим, при оценке используя первый рассмотренный нами метод – метод прямоугольников:

 .

Другими словами:  

Из этого следует:

Для доказательства левой части неравенства, будем применять второй рассмотренный нами способ – метод трапеций.

,

то есть .

Если осуществить прибавление  к двум частям рассматриваемого неравенства и осуществить все необходимые преобразования, то можно установить, что данное неравенство является верным.

Таким образом, рассмотренные способы использования определенной интегральной системы подтвердили свою эффективность в ходе доказывания неравенств.

В ходе проведенной работы, была приведена общая характеристика методов прямоугольников и трапеций.

Для подтверждения слов о возможности их использования в ходе доказывания неравенства, была решена задача с применением обоих методов одновременно.

Список литературы:

1. Бархатов, В.В. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4-х частях. Часть 2. Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Гриф МО Республики Беларусь / В.В. Бархатов. - М.: Вышэйшая школа, 2014. - 918 c.
2. Вороной А. Н. Интеграл помогает доказывать неравенства. – М.,2000.-№4.-с.66-70.
3. Лекции по математике для физико-математических школ. Часть 2. Иррациональные уравнения, системы и неравенства, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, тригонометрия, обратные тригонометрические функции / В.В. Арлазаров и др. - М.: ЛКИ, 2008. - 264 c.
4. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. В 3 томах. Том 1. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 632 c.