ДРОБНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКИХ КРИЗИСОВ И ЦИКЛОВ С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ НОРМЫ НАКОПЛЕНИЯ ОТ КАПИТАЛООТДАЧИ

ДРОБНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКИХ КРИЗИСОВ И ЦИКЛОВ С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ НОРМЫ НАКОПЛЕНИЯ ОТ КАПИТАЛООТДАЧИ

Макаров Данил Васильевич

мл. науч. сотр. международной интегративной научно-исследовательской лаборатории экстремальных явлений Камчатки, Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

Паровик Роман Иванович

д-р физ.-мат. наук, заведующий международной интегративной научно-исследовательской лаборатории экстремальных явлений Камчатки, Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

FRACTIONAL MATHEMATICAL MODEL OF ECONOMIC CRISES AND CYCLES DEPENDING ON THE RATE OF ACCUMULATION ON CAPITAL PRODUCTIVITY

Danil Makarov

Junior Researcher, International Integrative Research Laboratory of Extreme Phenomena of Kamchatka, Vitus Bering Kamchatka State University,

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky.

Roman Parovik

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the International Integrative Research Laboratory of Extreme Phenomena in Kamchatka, Vitus Bering Kamchatka State University,

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky.

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается дробная математическая модель экономических кризисов и циклов с учетом зависимости нормы накопления от капиталоотдачи. В качестве модели выступает система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с производными дробных порядков в смысле Герасимова-Капуто, которая обобщает ранее известную модель С.В. Дубовского. Также в модели была учтена зависимость нормы накопления от капиталоотдачи. С помощью численного алгоритма Адамса-Башфорта-Моултона была исследована предложенная модель. Построены осциллограммы и фазовые траектории в зависимости от различных параметров модели и вида функции нормы накопления.

ABSTRACT

The article considers a fractional mathematical model of economic crises and cycles, taking into account the dependence of the rate of accumulation on capital productivity. The model is a system of non-linear ordinary differential equations with derivatives of fractional orders in the sense of Gerasimov-Caputo, which generalizes the previously known model by S.V. Dubovsky. The model also took into account the dependence of the rate of accumulation on capital productivity. The proposed model was investigated using the Adams-Bashforth-Moulton numerical algorithm. Oscillograms and phase trajectories are constructed depending on various model parameters and the form of the accumulation rate function.

Ключевые слова: кризисы и циклы, дробная производная, норма накопления, капиталоотдача, осциллограммы, фазовая траектория, метод Адамса-Башфорта-Моултона.

Keywords: crises and cycles, fractional derivative, rate of accumulation, return on capital, oscillograms, phase trajectory, Adams-Bashforth-Moulton method.

Введение

Важность математического моделирования экономических процессов неоспорима. Это обусловлено тем, что математическое описание экономических систем дает количественное и качественное представление о экономических показателях с целью их дальнейшего прогнозирования в следующие промежутки времени, а также рекомендации для принятия правильного управленческого решения [1]. Для нас наибольший интерес представляет исследование экономических кризисов, так как именно они определяют экономическое благосостояние граждан и степень социального напряжения в стране. Еще в 20-е годы прошлого века советский экономист Н.Д. Кондратьев выделил во временных экономических рядах долгосрочные периодические колебания (волны) с длительностью 50-55 лет [2]. Далее другие исследователи в последствие аналогично выявили волны другой длительности, например, волны базовых инвестиций [3] и т.д. Наиболее полное математическое описание моделирования циклов Н.Д. Кондратьева было проведено, на наш взгляд, в работах С.В. Дубовского [4-6]. В настоящей работе была предложена математическая модель, которая обобщает известную модель Дубовского в случае учета эффектов памяти в экономической системе и является логическим продолжением работ [7] и [8].

Эффекты памяти описываются с помощью теории дробного исчисления, а именно производных дробного порядка [9]. Такие модели можно найти в работах зарубежных авторов [10]-[14], а также в работах отечественных авторов [15]-[17].

В настоящей работе в отличие от ранее известных работ авторов [18]-[20] было учтено, что норма накопления является функцией от капиталоотдачи (фондоотдачи).

Некоторые сведение из теории дробного исчисления

Здесь мы рассмотрим основные определения из теории дробного исчисления, более детально его аспекты можно изучить в книгах [21]-[23].

Определение 1. Дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка :

                            (1)

и имеет следующие свойства:

Определение 2. Дробная производная Герасимова-Капуто порядка  имеет вид:

                       (2)

Оператор (2) имеет следующие свойства [21]:

.

Постановка задачи

Обобщенная модель циклов Н.Д. Кондратьева может быть представлена в виде:

                                    (3)

где  - эффективность новых технологий;  - эффективность фондоотдачи;  и  -  равновесное стационарное решение системы (3);  - функция нормы накопления от  фондоотдачи;  - коэффициент, который определяется из статистики временного ряда;  -  функции, отвечающие за внешнее воздействие на экономическую систему; - временная координата,  - время моделирования процесса;  и  - начальные условия, заданные константы. Операторы дробной производной в (3) понимаются в смысле (2).

Заметим, что нелинейная система (3) в случае значений параметров , , -постоянная переходит в модель С.В. Дубовского [4]. Поэтому очевидно, что решение системы (3) будет обобщать решение модели С.В. Дубовского.

Метод Адамса-Башфорта-Моултона

Метод Адамса-Башфорта-Моултона (АБМ) относится к типу численных методов предиктор-корректор для решения дифференциальных уравнений. Он подробно изучен и обсужден в работах [24]-[26].

На равномерной сетке введем функции , , которые будут определяться по формуле Адамса-Башфорта (предиктор):

                 (4)

Тогда по формуле Адамса-Моултона для корректора, мы получим            

   (5)

где весовые коэффициенты в (5) определяются по формуле:

Теорема. Если , тогда

.                               (6)

Доказательство теоремы основывается на методе математической индукции, и оно приведено в работе [25].

Заметим, что в случае  с учетом (6), мы получаем классический метод АБМ второго порядка точности.

Результаты моделирования.

Пример 1. Рассмотрим, случай, когда функция накопления обратно пропорциональна фондоотдаче:,   функции внешнего воздействия на систему (3) выберем гармоническими: . Значения параметров выберем следующим: , , , , ,. Осциллограммы и фазовая траектория приведены на рис.1.

а)                                                              б)

в)

Рисунок 1. Осциллограммы: а) ;  б) ; фазовая траектория в)

На рис. 1 мы видим осциллограммы для эффективности новых технологий  (рис. 1а) и для эффективности фондоотдачи (рис. 1б). Мы видим, что при увеличении эффективности новых технологий со временем происходить рост эффективности основных фондов. Гармонические функции  дают колебания, которые можно интерпретировать как внешний дополнительный приток-отток новых технологии, а также основных фондов. На рис. 1в приведена фазовая траектория. В силу того, что колебания эффективности новых технологий и фондоотдачи происходят практически в противофазе с некоторым сдвигом, то фазовая траектория похожа на фигуру Лиссажу, которая используется в электронике.

На рис. 2 приведены осциллограммы при включении эффекта памяти .

                                 а)                                                                          б)

в)

Рисунок 2. Осциллограммы: а) ;  б) ; фазовая траектория в)

Эффект памяти дает затухание колебаний, которые характеризуют общую тенденцию, огибающую осциллограммы (рис. 1а и 1б). Фазовая траектория имеет четко выраженную структуру похожую на фигуру Лиссажу и слегка деформированную.  Усиление эффекта мы видим на рис. 3. при .

а)                                                                         б)

в)

Рисунок 3. Осциллограммы: а) ;  б) ; фазовая траектория в)

Пример 2.  Рассмотрим пример, когда значения параметров: , . Остальные значения параметров оставим из предыдущего примера. Результаты моделирования приведены на рис. 4.

а)                                                                 б)

в)                                                        г)

д)

Рисунок 4. Осциллограммы: а) ;  б) ; фазовые траектории: в)  ; г) ;  д)

На рис. 4 представлен случай, когда . Здесь мы видим, что осциллограмма, которая отвечает за новые технологии (рис. 4а) имеет одно периодический режим, а осциллограмма эффективности фондоотдачи (рис. 4б) – двупериодический. Это подтверждают фазовые траектории (рис. 4в и 4 г). Фазовая траектория (рис. 4д) указывает на то, что колебания осуществляются практически в двух взаимных перпендикулярных направлениях (фигура Лиссажу).

Заключение.

В работе предложена новая дробная модель экономических кризисов и циклов, которая обобщает модель С.В. Дубовского, а также учитывает зависимость нормы накопления от фондоотдачи. С помощью численного метода АБМ, были получены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что эффект памяти дает некоторую диссипацию огибающей осциллограммы. Гармонические функции внешнего воздействия на систему (3) дают приток-отток новых технологий и основных фондов. Норма накопления в случае обратной зависимости от фондоотдачи может изменять режимы колебаний, которые нуждаются в дополнительной экономической интерпретации.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МД-758.2022.1.1

Список литературы:

1. Паровик Р.И. Моделирование выбора руководством высшего учебного заведения оптимального решения, согласованного с управляющими решениями его филиалов // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2013. №1(6). С. 5-11.
2. Кондратьев Н.Д., Опарин Д.Н. Большие циклы конъюнктуры. М.: Институт экономики, 1928. 287 с.
3. Mensch. G. Stalemate in Technology. Innovations Overcome the Depression Cambrg. Ballinger Pub Co. 1979. 241 p.
4. Дубовский С.В. Объект моделирования – цикл Кондратьева // Математическое моделирование. 1995. Т.7. №6. С. 65-74.
5. Дубовский С.В. Моделирование циклов Кондратьева и прогнозирование кризисов. В кн. Кондратьевские волны. Аспекты и перспективы. Волгоград: Учитель, 2012. C. 179-188.
6. Дубовский С. В. Прогнозирование катастроф (на примере циклов Н.Д. Кондратьева) // Общественные науки и современность. 1993. № 5. С. 82–91.
7. Макаров Д.В. Экономико-математическое моделирование инновационных систем // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. №1(8). C. 66-70.
8. Макаров Д.В., Паровик Р.И. Обобщенная математическая модель Дубовского для прогнозирования экономических кризисов // Научно-технический вестник Поволжья. 2016. № 1. С. 74-77.
9. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
10. Boleantu M. Fractional dynamical systems and applications in economy // Differential Geometry - Dynamical Systems. 2008.  Vol. 10. P. 62-70.
11. Yiding Y., Lei H., Guanchun L. Modeling and application of new nonlinear fractional financial model // Journal of Applied Mathematics. 2013
12. Tejado I., Duarte V., Nuno V. Fractional Calculus in Economic Growth Modeling. The Portuguese case. Conference: 2014 International Conference on Fractional Differentiation and its Applications (FDA'14).
13. Mendes R.V. A fractional calculus interpretation of the fractional volatility model // Nonlinear Dyn. 2008.
14. Zhenhua H., Xiaokang T. A new discrete economic model involving generalized fractal derivative // Advances in Difference Equations. 2015.  Vol. 65. DOI 10.1186/s13662-015-0416-8.
15. Шпилько Я.Е., Соломко А.А., Паровик Р.И. Параметризация уравнения Самуэльсона в модели Эванса об установлении равновесно цены на рынке одного товара // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2012. №2(5). C. 33-36.
16. Самута В.В., Стрелова В.А., Паровик Р.И. Нелокальная модель неоклассического экономического роста Солоу // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2012. №2(5). C. 37-41.
17. Нахушева З.А. Об одной односекторной макроэкономической модели долгосрочного прогнозирования // Доклады АМАН. 2012. Т. 14. №1. C. 124-127.
18. Makarov D. V., Parovik R. I. A computer program for the numerical analysis of economic cycles within the framework of the Dubovsky generalized model // AIP Conference Proceedings, 2022.  Vol. 2467. No. 1. 060015.
19. Makarov D. I., Parovik R. Numerical modeling of Kondratyev’s long waves taking into account heredity // AIP Conference Proceedings, 2021. Vol. 2365.  No. 1. 070005.
20. Makarov D. V., Parovik R. I. Modeling of the economic cycles using the theory of fractional calculus //The Journal of Internet Banking and Commerce. 2016.
21. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
22. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. London: Academic Press, 1974. 240 p.
23. Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York: A Wiley-Interscience publication, 1993. 384 p.
24. Garrappa R. Numerical Solution of Fractional Differential Equations: A Survey and a Software Tutorial // Mathematics 2018. Vol. 6. No. 16. doi: http://dx.doi.org/10.3390/math6020016
25. Yang C., Liu F. A computationally effective predictor-corrector method for simulating fractional-order dynamical control system //ANZIAM J. 2006. Vol. 47.  P.168–184. doi: https://doi.org/10.21914/anziamj.v47i0.1037
26. Diethelm K., Ford N.J., Freed A.D. A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations // Nonlinear Dyn. 2002. Vol. 29. P. 3-22. doi: https://doi.org/10.1023/A:1016592219341.