ОБОБЩЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ ОБЪЁМНОЙ АКТИВНОСТИ РАДОНА ДО ЭРЕДИТАРНОЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЫХОДА НА РАЗЛИЧНЫЕ УРОВНИ НАСЫЩЕНИЯ

ОБОБЩЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ ОБЪЁМНОЙ АКТИВНОСТИ РАДОНА ДО ЭРЕДИТАРНОЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЫХОДА НА РАЗЛИЧНЫЕ УРОВНИ НАСЫЩЕНИЯ

Твёрдый Дмитрий Александрович

канд. физ.-мат. наук, науч. сотр., Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

Макаров Евгений Олегович

канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., Камчатский̆ филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального исследовательского центра «Единая геофизическая служба Российской академии наук»,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

Паровик Роман Иванович

д-р физ.-мат. н., вед. науч. сотр., Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

GENERALIZATION OF A SIMPLE MODEL OF RADON VOLUME ACTIVITY TO HEREDITARY ACTIVITY FOR SIMULATION OF REACH TO DIFFERENT SATURATION LEVELS

Dmitrii Tverdyi

PhD of Phys.-Math. Sci., Researcher, Kamchatka State University,

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky

Evgeny Makarov

PhD Phys.-Math. Sci., Senior Researcher, Kamchatka Branch of the Federal Research Center "Unified Geophysical Service of the Russian Academy of Sciences",

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky

Roman Parovik

Doctor of Phys.-Math. Sci., Leading Researcher, Kamchatka State University, Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается механизм накопления радиоактивного газа радона в камере с газоразрядными счётчиками в нескольких пунктах наблюдений на Камчатке. С целью развития радоновых методов поиска предвестников землетрясений. В этом исследовании мы исходим из сравнительно простой модели накопления RVA с насыщением на основе ОДУ. Учитывая современные представления об изменении состояния верхнего слоя земной коры перед землетрясением, а именно к изменению во времени пористости и проницаемости породы, проводим обобщение до эредитарной модели RVA. Также делаются предположения о иных возможных физических процессах в верхнем слое земной коры и атмосферы, влияющих на диссипацию и накопление газа радона в камере. Переход от ОДУ к дробным производным обусловлен тем, что с их помощью математически описываются процессы аномальной диффузии в пористой среде, где могут проявляться эффекты памяти или эредитарности, из-за задержек или быстрой миграции газа. В результате численного моделирования и его сопоставления с данными радонового мониторинга показано, что эредитарная модель RVA даёт лучшую аппроксимацию данных процесса с насыщением, в отличии от простой ОДУ модели.

ABSTRACT

The article discusses the mechanism of accumulation of radioactive radon gas in a chamber with gas-discharge counters at several observation points in Kamchatka. With the aim of developing radon methods for searching for earthquake precursors. In this study, we start from a relatively simple RVA accumulation model with saturation based on ODEs. Taking into account modern ideas about the change in the state of the upper layer of the earth's crust before an earthquake, namely, the change in time of the porosity and permeability of the rock, we generalize to the hereditary RVA model. Also, assumptions are made about other possible physical processes in the upper layer of the earth's crust and atmosphere that affect the dissipation and accumulation of radon gas in the chamber. The transition from ODEs to fractional derivatives is due to the fact that they are used to mathematically describe the processes of anomalous diffusion in a porous medium, where memory or heredity effects can manifest themselves due to delays or rapid gas migration. As a result of numerical simulation and its comparison with radon monitoring data, it is shown that the RVA hereditary model gives a better approximation of process data with saturation, in contrast to a simple ODE model.

Ключевые слова: математическое моделирование, динамические процессы, объёмная активность радона, предвестники землетрясений, эффект насыщения, эффекты памяти, дробные производные, Matlab

Keywords: mathematical modeling, dynamic processes, radon volumetric activity, earthquake precursors, saturation effect, memory effects, fractional derivatives, Matlab

Радоновые методы поиска предвестников землетрясений достаточно хорошо изучены [1]. Исследования активно ведутся уже на протяжении полувека, как отдельно [2] так и в совокупности с другими геохимическими предвестниками сильных землетрясений [3].

Газ радон (Rn) образуется как следствие распада радиоактивного металла радия, и доступен для непрерывной регистрации специальным оборудованием. Также известно, что Rn очень чувствителен к изменениям геодинамического состояния среды. И при подготовке очага землетрясения, с точки зрения современной геофизики, неизбежны вариации полей напряжений ведущих к таким изменениям среды. А именно изменение проницаемости, пористости и многих других параметров в верхнем слое земной коры. Которые влияют на скорость движения Rn к поверхности. Некоторые теоретические обоснования подробно изложены в работе [4].

Таким образом, наблюдение за полем Rn в верхнем слое почвы представляет интерес с точки зрения разработки методики прогноза сильных землетрясений. Которая основана на непрерывном мониторинге объемной активности Rn в подпочвенном воздухе с высокой степенью детальности. И в данном исследовании разработана математическая модель процесса изменения RVA, с учетом предположений о механизмах изменения RVA в накопительной камере. Которое должно помочь в понимании процессов, происходящих в подземных водах и подпочвенном воздухе перед землетрясениями, с целью прогноза.

Но, прежде чем перейти к моделированию аномального поведения RVA, необходимо начать математическую часть этой статьи с представления упрощенной модели накопления RVA. Так как уже на этом этапе вводятся основные понятия, параметры и физические интерпретации членов математических моделей. Которые будут наследоваться и далее, предложенными в этом исследовании моделями накопления RVA и аномалий RVA. Что будет отражать преемственность математических моделей, и корректность их физического обоснования.

В работе [5] была предложена упрощенная математическая модель накопления RVA в накопительной камере:

                                     (1)

где  - объемная активность радона (RVA);  - константа отвечающая за диффузионный механизм переноса,  - кратность воздухообмена (AER),  - константа, определяющая значение RVA в момент времени ,   - текущее время,  - общее время симуляции.

Модель (1) имеет ряд допущений, точное решение имеет вида:

                (2)

где  - т.к. данные мониторинга RVA всегда будут нормироваться на максимум для сопоставления с модельными данными. Данные наблюдений RVA в [Bq/] для сопоставления, берутся с датчика в точке PRTR, подробнее о данных и пунктах их регистрации можно узнать из работы [5]. Результаты моделирования не нормировались, и оба типа данных представлены в  - относительных единицах.

Параметр  уточняется на основе нормированных данных RVA. Варьируя значения  выбиралась наиболее подходящая комбинация, при котором решение (2) модели (1) давало бы максимальное значение коэффициента корреляции Пирсона () [6] с нормированными данными.

Рисунок 1. a) значения RVA в камере на PRTR с шагом в 1 час; b-d) модельные кривы простой модели (1) при различных

Но из-за свойств решения (2) её модельная кривая всегда не убывающая, как видно из рис. 1, и простая модель RVA вида (1) - способна описывать режимы только с выходом на насыщение, а модель имеет только один управляющий параметр .

Исходя из предположения о том, что процесс переноса Rn происходит в пористой почве, можно провести обобщение модели (1), для учёта свойств такой почвы и влиянии её на RVA в накопительной камере.

Такой пример среды с механизмом конвекции и диффузии с учетом наследственных свойств, рассмотрен в [7, 8], где дано математическое описание переноса Rn в пористой почве. Эредитарность, эффект памяти, наследственность — это синонимы, обозначающие одно и тоже явление. В работах [7, 8] эффект памяти пористой среды рассмотрен в двух возможных случаях. Во-первых, наличие изолированных пор, а значит Rn может длительное время удерживаться в них. Во-вторых, память может быть обусловлена проводящими каналами между изолированными порами, тогда Rn может быстро мигрировать в пространстве (полеты Леви).

Такие механизмы переноса радона в литературе называются субдиффузионными и супердиффузионными или аномальной диффузией [9], и математически могут быть описаны при помощи интегро-дифференциального исчисления [10, 11]. Также из работ [12, 13] можно узнать о принципах эредитарности (или эффекте памяти) согласно Вольтера В. [14]. Некоторые вопросы связанные с пористостью среды и возможным применении дробных производных к задачам моделирования процессов изменения RVA в накопительной камере рассмотрены в работах [15, 16], с феноменологической точки зрения.

Ранее в модели (1) изменение уровня RVA связывалось с производной 1-го порядка . Теперь же рассмотрим немного другой, наследственный процесс миграции Rn, полагая закон накопления RVA в камере таким:

                       (3)

Функция  - отвечает за различные механизмы изменения уровня Rn в камере, и в общем случае может быть нелинейной. Интерес представляет именно  - функция памяти, определяющая степень влияния функции  на процесс накопления RVA. В общем случае функцию памяти  можно выбирать исходя из дополнительных условий, например на основе свойств среды или данных наблюдений.

Исходя из того, что чем меньше  - т.е. AER камеры с атмосферой, тем быстрее будет уменьшается скорость поступления Rn в камеру со временем. Тогда можно считать динамическую систему (1) диссипативной, т.е. диссипация понимается в том смысле, что система постепенно «забывает» механизмы поступления радона в камеру, а значит RVA будет со временем выходить на насыщение, т.е. эффект плато. Тогда для описания моделью в первом приближении, такого механизма в диссипативной системе где  -- определяет интенсивность диссипации, согласно [15] подойдёт  - степенная функция вида:

                          (4)

где - гамма-функция Эйлера, причём  из (4) является монотонно убывающей на интервале .

Подставляя (4) в уравнение (3) процесса миграции Rn, получаем:

                                              (5)

где  - дробный интеграл порядка.

После чего, согласно [10] по композиционному свойству дробного интеграла, можно обратить уравнение (5), и представить в виде:

где

                             (6)

известная дробная производная Герасимова-Капуто [16, 17] порядка .

В итоге, из (1) путём обобщения, с учетом особенностей миграции Rn в пористой почве, получим такое соотношение:

                                     (7)

Уравнение в (7) позволяющее учитывать в модели накопления RVA пористость среды с помощью эффекта памяти, за счёт дробной производной  будем называть - эредитарной  моделью RVA. Дробный оператор  -- определяет интенсивность изменения RVA, а её параметр - константа, предположительно отражает степень пористости среды, пропускающей Rn, что прямо отражается на уровне RVA.

Рассмотрим такой случай для (7), когда  -- учитывает линейный механизм диссипации RVA, тогда модель примет вид:

                                  (8)

В исследовании [15] показано, что решение задачи Коши (8) можно получить в терминах специальной функции Миттаг-Леффлера [10]:

                       (9)

где  - Функция Миттаг—Леффлера.

Модельные параметры в (8) и решении (9) можно интерпретировать следующим образом: - RVA, в относительных единицах; - константа, параметр проницаемости среды, основной управляющий параметр модели (8); Член - диссипативный, связанный с оттоком Rn в следствии воздухообмена накопительной камеры в атмосферы; - член накачки, константа диффузионно-конвективного переноса Rn; Остальные параметры аналогичны модели (1) и её решению (2).

Здесь в (8) вид правой части эредитарноймодели, то есть функции  из (7), берётся аналогичным упрошенной модели (1), то есть . Сделано это для того, чтобы показать преемственность моделей в ходе обобщения, а значит и сохранить физический смысл членов: и , их влияние на процессы изменения RVA в камере.

Для сопоставления использовались данные полученные с пункта регистрации YSSR на острове Сахалин [18]. Над данными с рис. 2 будут проведены действия: сглаживание -- с помощью метода Simple moving average [19] c окном в 3 значения; нормировка -- на максимальное значение. Результаты моделирования не нормировались.

Рисунок 2. Данные наблюдений с пункта наблюдения YSSR. Регистрация велась с шагом в 30 минут, в течении 160 часов

Параметры для обеих математических моделей: (1) и (8) будут такими:

Параметр , будет уточняться на основе нормированных данных RVA. Варьируя значения , до наилучших значений коэффициента корреляции Пирсона () [6] нормированных данных RVA и решения по модели (8).

Рисунок 3. a) Нормированные данные RVA; b) (синий пунктир) наилучший результат по упрощённой модели (1); c) (красный пунктир) результат по эредитарной  модели (8) совпадающий с (1);  d) лучший результат по (8)

Терпеть из-за перехода от обыкновенной к дробной производной, в эредитарной  модели появляется новый параметр - интенсивность диссипации. Такая довольно простая модель, как видно из рис. 3, за счет введения  при различных значениях - характеризует эффект памяти и выход насыщение. Что обусловлено закономерностью, представленной на рис. 3, когда при различных значениях постоянного параметра - обратно пропорционального интенсивности диссипации, модельные кривые отражают выход на некоторый уровень насыщения.

Как частный случай (9), при  - получаем модельную кривую очень близкую к известному решению (2) упрощенной модели (1) как показано на рис. 3 (кривые b и c). Что говорит о корректности нашего обобщения до эредитарной  модели (7), на примере модели (8).

В заключении можно сказать, что представленное обобщение модели накопления RVA в накопительной камере, для учета степени пористости среды с помощью аппарата дробных производных, дает дополнительную степень свободы в математической модели процесса. А вариации параметра   позволяют более гибко и точнее моделировать процесс RVA.

Результаты математического моделирования показывают хорошее согласие с данными по процессу накопления RVA в камере, а также что эредитарная модель RVA даёт лучшую аппроксимацию данных процесса с насыщением, в отличии от простой ОДУ моделью. А значит предполагаемые физические интерпретации параметров моделей могут быть корректны. Что может быть использовано в дальнейшем для решения обратной задачи, для установления по известным данным процесса, корректных значений параметров модели их размерностей, а также позволит с большей точностью говорить о процессах, предшествующих выходу радона на поверхность.

Исследование выполнено рамках гранта "Развитие математических моделей дробной динамики с целью исследования колебательных процессов и процессов с насыщением" МД-758.2022.1.1 в КамГУ им. Витуса Беринга.

Список литературы:

1. Petraki E., Nikolopoulos D., Panagiotaras D., Cantzos D., Yannakopoulos P., et al. Radon-222: A Potential Short-Term Earthquake Precursor // J Earth Sci Clim Change. 2015. No. 6. Vol. 282. DOI:10.4172/2157-7617.1000282
2. Hauksson E. Radon content of groundwater as an earthquake precursor: evaluation of worldwide data and physical basis // Journ. Geophys. Res. 1981. Vol. 86. Р. 9397–9410
3. Cicerone R.D., Ebel J.E., Beitton J.A. Systematic compilation of earthquake precursors // Tectonophysics. 2009. Vol. 476. P. 371-396
4. Imme G., Morelli D. Radon as earthquake precursor. Ch 7 // In: D’Amico S. (ed.) Earthquake research and analysis – statistical studies, observations and planning. 2012. P. 143–160. DOI:10.5772/29917
5. Фирстов П.П., Макаров Е.О. Динамика подпочвенного радона на Камчатке и сильные землетрясения // Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга. С. 148. ISBN: 978-5-7968-0691-3
6. Cox D.R., Hinkley D.V. Theoretical Statistics, 1st edition. // London: Chapman & Hall/CRC. 1979. P. 528. ISBN: 9780412161605
7. Parovik R.I., Shevtsov B.M. Radon transfer processes in fractional structure medium // Mathematical Models and Computer Simulation. 2010. Vol. 2. No. 2. P. 180-185. DOI: 10.1134/S2070048210020055
8. Parovik R.I. Mathematical modeling of radon sub diffusion into the cylindrical layer in ground // Life Science Journal. 2015. Vol. 11. No. 9. P. 281-283.
9. Uchaikin V.V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory // Berlin: Springer. 2013. P. 373. ISBN: 978-3-642-33911-0. DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0
10. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J.  Theory and Applications of Fractional Differential Equations // Amsterdam: Elsevier Science Limited. 2006. P. 523. ISBN: 9780444518323
11. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка // Москва: Наука. 2005. C. 199. ISBN: 5020337218
12. Parovik R.I., Tverdyi D.A. Some Aspects of Numerical Analysis for a Model Nonlinear Fractional Variable Order Equation // Mathematical and Computational Applications. 2021. Vol. 26. No. 3. P. 55. DOI: 10.3390/mca26030055
13. Tverdyi D.A., Parovik R.I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation // Fractal and Fractional. 2022. Vol. 6(1). No. 23. P. 1-27. DOI: 10.3390/fractalfract6010023
14. Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations // Moscow: Science. 1982. ISBN: 9780598446336
15. Tverdyi D.A., Parovik R.I., Makarov E.O., Firstov P.P. Research of the process of radon accumulation in the accumulating chamber taking into account the nonlinearity of its entrance // E3S Web Conference. 2020. Vol. 196. No. 02027. P. 1-6. DOI: 10.1051/e3sconf/2020196020278
16. Gerasimov A.N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems // Applied Mathematics and Mechanics. 1948. Vol. 12. P. 529-539.
17. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent – II // Geophysical Journal International. 1946. Vol. 13. No. 5. P. 529-539. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x3
18. Makarov E.O., Firstov P.P., Kostylev D.V., Rylov E.S., Dudchenko I.P. First results of subsurface radon monitoring by network of points, operating in the test mode on the south of Sakhalin iseland // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2018. Vol. 5. No. 25. P. 99-114.
19. Johnston F.R., Boyland J.E., Meadows M., Shale E. Some properties of a simple moving average when applied to forecasting a time series, Journal of the Operational Research Society. 1999. Vol. 50. No. 12. P. 1267-1271. DOI: 10.1057/palgrave.jors.2600823