МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕКОТОРЫХ АНОМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ НАКОПЛЕНИЯ ПОДПОЧВЕННОГО РАДОНА НА ОСНОВЕ ДРОБНОГО ОПЕРАТОРА ГЕРАСИМОВА-КАПУТО

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕКОТОРЫХ АНОМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ НАКОПЛЕНИЯ ПОДПОЧВЕННОГО РАДОНА НА ОСНОВЕ ДРОБНОГО ОПЕРАТОРА ГЕРАСИМОВА-КАПУТО

Твёрдый Дмитрий Александрович

канд. физ.-мат. наук, науч. сотр., Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

Макаров Евгений Олегович

канд. физ.-мат. наук, ст. нау. Сотр., Камчатский̆ филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального исследовательского центра «Единая геофизическая служба Российской академии наук»,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

Паровик Роман Иванович

д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр., Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

MATHEMATICAL MODEL OF SOME ANOMALOUS REGIMES OF SUBSOIL RADON ACCUMULATION BASED ON THE GERASIMOV-CAPUTO FRACTIONAL OPERATOR

Dmitrii Tverdyi

PhD of Phys.-Math. Sci., Researcher, Kamchatka State University,

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky

Evgeny Makarov

PhD Phys.-Math. Sci., Senior Researcher, Kamchatka Branch of the Federal Research Center "Unified Geophysical Service of the Russian Academy of Sciences",

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky

Roman Parovik

Doctor of Phys.-Math. Sci., Leading Researcher, Kamchatka State University,

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается математическое моделирование процессов изменения объемной активности радона (RVA), и сопоставление с данными радонового мониторинга. Непрерывное наблюдение за вариациями RVA, их обнаружение и анализ аномальных режимов, является одной из методик прогноза сильных землетрясений.  Учёт в членах предложенной модели, различных законов накопления и диссипации газа в накопительной камере, позволяет сделать предположения о процессах в верхнем слое земной коры и атмосфере в районе пункта наблюдений. И как следствие приходим к интегро-дифференциальному уравнению Риккати, выбор которого обусловлен его использованием в моделях для определения времени выхода на насыщение. А дробная производная явно связывает эффект памяти и насыщение. В итоге, результаты полученные эредитарной моделью RVA сопоставляются их с наблюдаемыми данными. Показано что модельные кривые хорошо согласуются с данными, а учёт эффекта постоянной памяти и нелинейности уравнения Риккати в механизмах изменения RVA позволяет моделировать различные виды аномального поведения RVA.

ABSTRACT

The article discusses the mathematical modeling of the processes of change in radon volumetric activity (RVA), and comparison with radon monitoring data. Continuous monitoring of RVA variations, their detection and analysis of anomalous regimes is one of the methods for predicting strong earthquakes. Taking into account in the terms of the proposed model, various laws of accumulation and dissipation of gas in the storage chamber, allows us to make assumptions about the processes in the upper layer of the earth's crust and the atmosphere in the area of the observation point. And as a consequence, we come to the integro-differential Riccati equation, the choice of which is due to its use in models to determine the time to reach saturation. And the fractional derivative explicitly links the memory effect and saturation. As a result, the results obtained by the RVA hereditary model are compared with the observed data. It is shown that the model curves are in good agreement with the data, and taking into account the effect of constant memory and the nonlinearity of the Riccati equation in the mechanisms of RVA change allows modeling various types of anomalous behavior of RVA.

Ключевые слова: динамические процессы, объёмная активность радона, предвестники землетрясений, математическое моделирование, эффект насыщения, уравнение Риккати, эффекты памяти, оператор дробного дифференцирования, Matlab

Keywords: dynamic processes, radon volumetric activity, earthquake precursors, mathematical modeling, saturation effect, Riccati equation, memory effects, fractional differentiation operator, Matlab

Радон (Rn), образующийся в результате распада радия и доступный для непрерывной регистрации в воздухе подпочв, очень чувствителен к изменениям геодинамического состояния среды. Это позволяет рассматривать его в качестве индикатора изменений структуры исследуемого участка земной коры, пористости, проницаемости каналов миграции газа в результате отклика геосреды на внешние воздействия [1, 2]. Аномалии в поле радона, как вестник приближающегося землетрясения, широко исследовались в последние десятилетия. С целью поиска предвестников сильных землетрясений во многих сейсмоактивных регионах мира с 60-х годов прошлого века велась регистрация объемной активности радона (ОАР) (RVA), в воздухе подпочв и растворенного в воде.

Согласно современным представлениям, напряженно-деформированного состояния геосреды, связанные с подготовкой будущего очага землетрясения, приводят к изменению пористости, проницаемости, градиентов температуры и давления в верхнем слое земной коры и, как следствие, к изменению скорости миграции радона к дневной поверхности. Теоретическое обоснование возможности возникновения предвестниковых аномалий достаточно полно изложено в работе [3].

Сведения об информативности радонового метода для поиска предвестников землетрясений приведены в ряде работ. Первая сводка радоновых предвестников опубликована в работе [4]. В другой работе [5] приведена более расширенная сводка геохимических предвестников сильных землетрясений, в том числе радоновых, зарегистрированных до 2009 г. Последняя сводка, до 2015 г., опубликована в [6].

Краткосрочные предвестники землетрясений с магнитудой  в поле подпочвенного радона со временем упреждения до 15 сут были зарегистрированы во многих районах мира [7-10]. В динамику поля подпочвенного радона существенный вклад вносят метеорологические величины (температура воздуха, атмосферное давление, осадки).

В литературе сравнительно редко встречаются описания среднесрочных и долгосрочных предвестников сильных землетрясений в поле подпочвенного радона. Аномалии в виде длительных трендов перед сильными землетрясениями отмечены для некоторых сильных землетрясений Японии. Перед разрушительным землетрясением Идзу-Осима (Izu Oshima) 14.01.1978 г. с магнитудой в 7 баллов на расстоянии 30 км от эпицентра в течение 2.5 месяцев наблюдалась аномалия концентрации подпочвенного Rn, синхронная с вертикальными деформациями земной поверхности [11,12]. Перед мегаземлетрясением Тохоку (Япония) 11.03.2011 г. с магнитудой в 9 балов в воде артезианской скважины за 4.5 мес. до события начался рост RVA, который продолжался и после землетрясения. Общая длительность аномалии составила 8 мес. [13].

Суть данного исследования, в математическом моделировании процесса изменения RVA в накопительной камере. Которое должно помочь в понимании причин возникновения аномальных вариаций RVA в следствии процессов в подземных водах и подпочвенном воздухе перед землетрясениями. Механизм возникновения, которых до конца не ясен, и не описан достаточно ясно для возможности интерпретации наблюдаемых предвестниковых аномалий в координатах пространство – время -- напряжение геосреды, с целью прогноза.

Но, перед тем как перейти к моделированию аномального поведения RVA, необходимо привести упрощенную модель накопления RVA. Так как уже на этом этапе вводятся основные понятия, параметры и физические интерпретации членов математических моделей, рассмотренных в этой статье. Которые будут наследоваться от упрощённой к обобщенной модели накопления RVA. Что будет отражать преемственность математических моделей, и корректность их физического обоснования.

В работе [14] была предложена упрощенная математическая модель накопления RVA в накопительной камере:

                                    (1)

где,  - объемная активность радона (RVA) [Bq/];  - константа отвечающая за диффузионный механизм переноса,  - кратность воздухообмена (AER),  - константа, определяющая значение RVA в момент времени ,   - текущее время симуляции,  - общее время симуляции; диссипативный член  - связанный с оттоком Rn в следствии воздухообмена накопительной камеры в атмосферы; - член накачки, константа диффузионно--конвективного переноса Rn;

Модель (1) имеет ряд допущений, а точное решение имеет вид:

                (2)

где  - т.к. данные мониторинга RVA всегда будут нормироваться на максимум для сопоставления с модельными данными.

Исходя из предположения о том, что процесс переноса Rn происходит в пористой почве, можно провести обобщение модели (1), для учёта свойств такой почвы и влиянии её на RVA в накопительной камере.

Такой пример среды с механизмом конвекции и диффузии с учетом эредитарности или наследственных свойств среды, рассмотрен в [15, 16], где дано математическое описание переноса Rn в пористой почве. И такие механизмы переноса Rn называют аномальной диффузией [17], и математически могут быть описаны с помощью теории дробных производных и интегралов [18,19].

Некоторые вопросы связанные с пористостью среды и возможным применении дробных производных к задачам моделирования процессов изменения RVA в накопительной камере рассмотрены в работе [20], с феноменологической точки зрения. Коротко из [20] можно выделить следующее, что, обобщая (1) для учета особенностей миграции Rn в пористой почве, приходим к такому соотношению:

                                     (3)

где - дробная производная Герасимова-Капуто порядка ;  - функция, отвечающая механизмы изменения уровня Rn в камере, общем случае может быть нелинейной. А параметр - константа, предположительно показывает степень пористости или проницаемости, пропускающей Rn, что выразится в уровне RVA.

Теперь, рассмотрим такое аномальное поведение RVA как представлено на рис. 1, со в всплеском и последующим выходом на насыщение. Данные RVA для сопоставления в [Bq/], получены из пункта наблюдения GLL (Камчатка, Голубая лагуна) [14].

Рисунок 1. Данные наблюдений с пункта наблюдения GLL. Регистрация велась с шагом в 2 минуты, в течении 22 часов

Для описания такого вида данных, возьмём функцию  -- подобно как в модели (1), но также учтем дополнительный нелинейный механизм оттока, для чего. Тогда общего вида модель (3) примет вид:

                   (4)

Модельные параметры аналогичны модели (1) и её решению (2), но с некоторыми дополнениями:

 -- дробная производная, определяющая интенсивность изменения RVA. Что даёт дополнительную степень свободы модели;

--­ константа, параметр, предположительно отражающий степень пористости или проницаемости среды пропускающей Rn;

 -- функция, описывающая представляющая относительные значения атмосферного давленя воздуха в накопительной камере;

-- диссипативный член, отвечающий за отвечающий за отток Rn из камеры из-за силы атмосферного давления;

Данный случай (4) представляет собой задачу Коши, численное решение которой подробно рассмотрено в работе [21], где вводится аппроксимация оператора Герасимова-Капуто из левой части модельного уравнения в (3). Поэтому мы в требуем чтобы . Более того, задача (4) представляет собой задачу Коши для эредитарного уравнения Риккати, численное решение которого широко исследовано авторами в работах [22, 23], но в более обобщённой форме. Тогда можем от задачи (4), согласно [22], перейти к её дискретному аналогу вида:

представленную в виде нелокальной неявной конечно-разностной схемы (IFDS), решаемой далее с помощью модифицированного метода Ньютона (MNM). О свойствах IFDS и применяемого к ней метода MNM можно узнать из статьи [22]. Так же отметим, что что уравнение Риккати применятся в логистических моделях, целью которых является определение времени насыщения (выхода на плато) [24].

Для сопоставления, над исследуемыми наблюдаемыми данными будут проведены действия: сглаживание, с помощью метода Simple moving average [25] c окном в 4 значения; а также нормировка на максимальное значение. Результаты моделирования не нормировались и оба типа данных представлены в  - относительных единицах.

Функция , постоянные параметры ,  уточнялись на основе данных RVA. По средством сопоставления сглаженных нормированных данных RVA и модельных данных, до наилучших значений коэффициента детерминации () [26] и коэффициента корреляции Пирсона () [27].

Проводя моделирование по (4) и при параметрах:

наилучшая (красная) расчётная кривая примет вид как (рис. 2, b) для эредитарной модели RVA (4), с коэффициентами подобия  и.

Рисунок 2. a) обработанные данные RVA; b) наилучшая модельная кривая по модели (4); c),d) модельные кривые при иных управляющий параметрах

Видно, что с учётом  нелинейного члена диссипации Rn в (4), эредитарная  модель RVA - способна давать описание некоторых аномальных режимов поведения RVA, с выходом на насыщение.

В заключении можно сказать, что предложенная в данном исследовании модель для описания аномального поведения уровня RVA в накопительной камере, с учетом пористости среды с помощью оператора дробного дифференцирования и нелинейного механизма оттока радона из камеры, действительно способна давать описание некоторых аномальных режимов поведения RVA.

Исследование выполнено рамках гранта "Развитие математических моделей дробной динамики с целью исследования колебательных процессов и процессов с насыщением" МД-758.2022.1.1 в КамГУ им. Витуса Беринга.

Список литературы:

1. Рудаков В.П. Эманационный мониторинг геосред и процессов // Москва: Научный мир. 2009. C. 175.
2. Адушкин В.В., Спивак А.А. Физические поля в приповерхностной геофизике // Москва: ГЕОС. 2014. C. 360. ISBN 978-5-89118-664-4
3. Imme G., Morelli D. Radon as earthquake precursor. Ch 7 // In: D’Amico S. (ed.) Earthquake research and analysis – statistical studies, observations and planning. 2012. P. 143–160. DOI:10.5772/29917
4. Hauksson E. Radon content of groundwater as an earthquake precursor: evaluation of worldwide data and physical basis // Journ. Geophys. Res. 1981. Vol. 86. Р. 9397–9410
5. Cicerone R.D., Ebel J.E., Beitton J.A. Systematic compilation of earthquake precursors // Tectonophysics. 2009. Vol. 476. P. 371-396
6. Petraki E., Nikolopoulos D., Panagiotaras D., Cantzos D., Yannakopoulos P., et al. Radon-222: A Potential Short-Term Earthquake Precursor // J Earth Sci Clim Change. 2015. No. 6. Vol. 282. DOI:10.4172/2157-7617.1000282
7. Inan S., Akgül T., Seyis C., Saatçilar R., Baykut S., Ergintav S., Baş M. Geochemical monitoring in the Marmara region (NW Turkey): A search for precursors of seismic activity // Journ. Geophys. Res. 2008. Vol. 113. No. B03401. P. 1-41.
8. Baykara O., Inceoz M., Dogru M., Aksoy E., Kulahci F., 2009. Soil radon monitoring and anomalies in East Anatolian fault system (Turkey) // Journal of Radioanalytical and Nuclear Chemistry. Vol. 279. No. 1. P. 159-164. DOI:10.1007/s10967-007-7211-2
9. Фирстов П.П., Макаров Е.О., Глухова И.П. и др. Поиск предвестниковых аномалий сильных землетрясений по данным мониторинга подпочвенных газов на Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне // Геосистемы переходных зон. 2018. Т. 2. № 1. С. 16-32.
10. Бирюлин С.В., Козлова И.А., Юрков А.К. Исследование информативности объемной активности почвенного радона при подготовке и реализации тектонических землетрясений на примере Южно-Курильского региона // Вестник КРАУНЦ, науки о земле. 2019. Т. 44. № 4. DOI: 10.31431/1816-5524-2019-4-44-73-83
11. Wakita H. Precursory changes in ground water prior to the 1978 Izu-Oshima-Kinkai Earthquake // Earthquake Prediction: An Intern. Review. Amer. Geophys. Union. 1981. P. 527-532.
12. Majumdar K. A study of fluctuation in radon concentration behaviour as an earthquake precursor // Current Science. 2004. Vol. 86(9). P. 1288-1292.
13. Tsunomori F., Tanaka H., Murakami M., Tasaka S. Seismic response of dissolved gas in groundwater // In: Proceedings of the 10th Taiwan-Japan Intern. Workshop on Hydrological and Geochemical Research for Earthquake Prediction, Tainan, Taiwan, October 25. National Cheng Kung Univ. 2011. Р. 29-35.
14. Фирстов П.П., Макаров Е.О. Динамика подпочвенного радона на Камчатке и сильные землетрясения // Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга. С. 148. ISBN: 978-5-7968-0691-3
15. Parovik R.I., Shevtsov B.M. Radon transfer processes in fractional structure medium // Mathematical Models and Computer Simulation. 2010. Vol. 2. No. 2. P. 180-185. DOI: 10.1134/S2070048210020055
16. Parovik R.I. Mathematical modeling of radon sub diffusion into the cylindrical layer in ground // Life Science Journal. 2015. Vol. 11. No. 9. P. 281-283.
17. Uchaikin V.V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory // Berlin: Springer. 2013. P. 373. ISBN: 978-3-642-33911-0. DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0
18. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение // Москва: Физматлит. 2003. C. 272. ISBN: 5-9221-0440-3
19. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J.  Theory and Applications of Fractional Differential Equations // Amsterdam: Elsevier Science Limited. 2006. P. 523. ISBN: 9780444518323
20. Tverdyi D.A., Parovik R.I., Makarov E.O., Firstov P.P. Research of the process of radon accumulation in the accumulating chamber taking into account the nonlinearity of its entrance // E3S Web Conference. 2020. Vol. 196. No. 02027. P. 1-6. DOI: 10.1051/e3sconf/2020196020278
21. Tvyordyj D.A. Hereditary Riccati equation with fractional derivative of variable order // Journal of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 253. No. 4. P. 564-572.  DOI: 10.1007/s10958-021-05254-0
22. Tverdyi D.A., Parovik R.I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation // Fractal and Fractional. 2022. Vol. 6(1). No. 23. P. 1-27. DOI: 10.3390/fractalfract6010023
23. Parovik R.I. Tverdyi D.A. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect // Fractal and Fractional. 2022. Vol. 6(3). No. 163. P. 1-35. DOI: 10.3390/fractalfract6030163
24. Drozdyuk A.V. Logistic curve // Toronto: Choven. 2019. P. 270. ISBN: 978-0-9866300-2-6
25. Ya-lun Chou. Statistical Analysis: With Business & Economic Applications // New York: Rinehart and Winston. 1975. P. 894. ISBN: 978-0030854040
26. Chicco D., Warrens M.J., Jurman G. The coefficient of determination R-squared is more informative than SMAPE, MAE, MAPE, MSE and RMSE in regression analysis evaluation // PeerJ Computer Scienc. 2021. No. 299. P. e623. DOI: 10.7717/peerj-cs.623
27. Cox D.R. Hinkley D.V. Theoretical Statistics, 1st edition // London: Chapman & Hall/CRC. 1979. P. 528. ISBN: 9780412161605.