МОДЕЛЬ ИНЖЕКЦИИ РАДОНА В ПОТОК ГРУНТОВЫХ ВОД И ЕЕ ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

МОДЕЛЬ ИНЖЕКЦИИ РАДОНА В ПОТОК ГРУНТОВЫХ ВОД И ЕЕ ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Каткова Глафира Андреевна

магистр, «Прикладная математика и информатика», Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

Макаров Евгений Олегович

канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. международной интегративной научно-исследовательской лабораторией экстремальных явлений Камчатки, Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, и.о. заведующего лабораторией акустического и радонового мониторинга КФ ФИЦ ЕГС РАН,

РФ, г. Петропавловск-Камчатский

Паровик Роман Иванович

д-р физ.-мат. наук, заведующий международной интегративной научно-исследовательской лабораторией экстремальных явлений Камчатки, Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН,

РФ, Камчатский край, с. Паратунка

A MODEL OF RADON INJECTION INTO A GROUNDWATER FLOW AND ITS SOFTWARE IMPLEMENTATION

Glafira Katkova

Master, "Applied Mathematics and Informatics", Vitus Bering Kamchatka State University,

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky

Evgeniy Makarov

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher of the International Integrative Research Laboratory of Extreme Phenomena of Kamchatka, Vitus Bering Kamchatka State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, acting Head of the Laboratory of Acoustic and Radon Monitoring, KB FRC GS RAS,

Russia, Petropavlovsk-Kamchatsky

Roman Parovik

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the International Integrative Research Laboratory of Extreme Phenomena of Kamchatka, Vitus Bering Kamchatka State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Leading Researcher of the Laboratory for Simulation of Physical Processes Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences,

Russia, Kamchatka Territory, Paratunka

АННОТАЦИЯ

В работе рассмотрена математическая модель инжекции радона в поток грунтовых вод. Математическая модель представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с однородным начальным условием причем скорость поступления радона является кусочно-постоянной функцией. Такая математическая модель допускает решение в аналитическом виде. Полученное решение модели явилось основой для разработки компьютерной программы с целью визуализации результатов моделирования. Программа позволяет загружать данные из текстового файла строить графики, а также выгружать данные в текстовый файл.  Программа прошла апробацию в лаборатории акустического и радонового мониторинга КФ ФИЦ ЕГС РАН.

ABSTRACT

The paper considers a mathematical model of radon injection into a groundwater flow. The mathematical model is a linear ordinary differential equation of the first order with a homogeneous initial condition, and the radon influx rate is a piecewise constant function. Such a mathematical model allows an analytical solution. The obtained solution of the model was the basis for the development of a computer program to visualize the simulation results. The program allows you to load data from a text file, build graphs, and upload data to a text file. The program was tested in the laboratory of radon and acoustic monitoring of the KB FRC GS RAS.

Введение

На основании многолетних экспериментальных наблюдений выявлено два типа отклика в динамике подпочвенного радона (Rn) на геодинамические процессы, сопровождающие последнюю стадию подготовки сильного землетрясения района полуострова Камчатка, и имеющих характер предвестников: тип А ‑ синфазные аномалии объемной активности радона (ОАР), зарегистрированные в нескольких пунктах сети. Этот тип аномалий связывается с возмущениями в геосреде, условно названными авторами «деформациоными волнами» и подробно описанными в работах [1], [2]. Другой тип Б ‑ хорошо выделяемая на общем фоне аномалия определенной формы, регистрируемая в одном пункте сети. По форме записи аномалии типа Б можно объяснить моделью инжекции и распространения радона в потоке воды, разработанной в работах [3], [4].

В работе мы будем исследовать аномалии типа Б.

Постановка задачи

Согласно модели В.Т. Дубинчука [3], приращение концентрации радона (ΔC) от времени в условиях воздействия импульса напряжений описывается следующей задачей Коши:

 ,                                             (1)

где  – обобщенный кинетический параметр системы с^-1; λ_а – постоянная, характеризующая абсорбцию на стенках капилляров; - постоянная, характеризующая пропускную способность гидрогеологической системы, Q – расход потока в системе, V – водообменный объем системы;  – постоянная распада радона;  - скорость эманирования радона – кусочно-постоянная функция вида:

которая связана с импульсами напряжений  различной формы с помощью соотношения: , где - коэффициент переноса Rn из твердой фазы в жидкую.

В работе [2] обобщенный кинетический параметр  системы, в первую очередь, определяется пропускной способностью всей гидрогеологической системы района пункта регистрации.

Задача Коши (1) имеет аналитическое решение:

,                                         (2)

где .

Компьютерная программа.

На языке С++ была разработана компьютерная программа, реализующая решение модели (2) с целью сопоставления модельных и экспериментальных данных. Для этого был выбран критерий, основанный на вычислении площадей под графиками соответствующих кривых. Для вычисления площадей использовался численный метод правых прямоугольников с идентичными шагом для соблюдения порядка точности. Параметр Λ вычислялся методом подбора. С каждой итерацией цикла программы искомый параметр увеличивается на 0.00001 и в момент минимальной разницы между площадями под кривыми цикл, останавливается с выводом расчетных значений. Кроме Λ программа рассчитывает величину импульса напряжения σ₀, воздействие которого, согласно работе [3], вызывает инжекцию радона в водный поток.

Компьютерная программа работает следующим образом. На первом этапе на вход программа получает файл формата txt с заранее нормированными на максимум данными, представляющий собой массив пар значений (ОАР), где первое значение отвечает за временную точку, второе за реальные данные концентрации Rn (рис. 1).

Рисунок 1. Пример содержания текстового файла нормированных данных ОАР

Для выбора файла из каталога используется диалоговое окно, в котором пользователем так же вводятся эмпирически определяемые параметры t1 (время пика/начала затухания аномалии) и t2 (время завершения аномалии) (рис. 2).

Рисунок 2. Пример отображения диалогового окна выбора файла (3, 4) и ввода параметров аномалии (1, 2); 5, 6 – результаты работы программы после нажатия пользователем кнопки «Расcчитать» (7)

Для выполнения расчёта необходимо нажать на кнопку «Рассчитать». Далее программа обрабатывает файл, внося каждый столбец в отдельные массивы данных. Таких массивов три: массив данных (dan), массив времени для данных (mastime) и массив времени для экспериментальной кривой (mas_t). Причём mas_t заполняется через цикл for последовательно, где каждый элемент равен порядковому номеру итерации минус 1. Параллельно с внесением в массив исходных данных, вычисляется максимальное значение из массива dan. Далее программой выполняется рассчет количества разбиений для дальнейшей работы метода прямоугольников.

На этом этапе выполняется расчёт площади полинома исходных данных, численным методом правых прямоугольников. После начинается основной цикл программы while, который содержит в себе два параметра для выхода из него: masPE[0] и masPE[1] – это элементы двухэлементного массива, которые по умолчанию оба равны 100. По ходу работы цикла эти ячейки переписываются каждый раз. В них записываются разность площадей под модельной и экспериментальной кривой, как только два раза подряд разность станет равной нулю или ниже него, то происходит выход из цикла и переход к новому этапу.

На каждой итерации цикла параметр Λ (lam) увеличивается на 0.00001. Такой шаг выбран для обеспечения нужной точности вычислений. Для каждого lam на каждой итерации цикла рассчитывается площадь под графиком модельной кривой и сравнивается с площадью под графиком экспериментальных данных. Массив данных с модельной кривой формируется каждую новую итерацию цикла.

На третьем этапе после завершения основного цикла mas[] (массив модельных данных) записывается в файл «approx.txt» который создаётся в папке с программой автоматически. После на консоль выводится сообщение с рекомендованными параметрами. Файлы, с которыми производилась работа, закрываются и в консоль автоматически передаётся сообщение об открытии этих файлов в программе «Gnuplot» для построения графиков.

Результат работы программы – рекомендованные параметры, подобранные автоматически, с помощью метода площадей отображаются в диалоговом окне выбора файла. График демонстрируется пользователю в отдельном окне (рис. 3).

Рисунок 3. Пример рабочего окна Gnuplot с демонстрацией кривых исходных нормированных данных ОАР и результата работы программы

Заключение

Преимуществом программы является отсутствие необходимости перезапуска для выполнения повторного расчёта для нового набора данных. Так, вернувшись к основному окну программы, можно выбрать новый файл и провести необходимые расчёты заново. 

Разработанная программа позволяет выполнять моделирование аномальных вариаций ОАР, которые регистрируются на сети пунктов Петропавловск-Камчатского геодинамического полигона и рассчитывать основные параметры, описывающих эти аномалии. Хотя вертикальное движение подземных вод по дизъюнктивным зонам, в отличие от горизонтального случая, полностью не может удовлетворять условиям модели [3], но на качественном уровне данная математическая модель, положенная в основу программы, может быть применена к зарегистрированным аномалиям.

Сравнения экспериментальных и модельных кривых предвестниковых аномалий типа Б подтверждают возможность их возникновения по модели отклика концентрации радона в потоке грунтовых вод с полным поперечным перемешиванием на продолжительное постоянное воздействие импульса напряжения.

Соотношение параметров Λ для разных случаев возникновения аномалий ОАР перед землетрясениями позволяет исследователям получить дополнительные сведения о энергии сейсмических событий и их особенностях, что может положительно сказаться на точности прогноза таких событий в дальнейшем. Вычисляемый параметр σ₀ и его связь с вариациями ОАР требуют дальнейшего изучения.

Дальнейшее продолжение работы также может быть связано с учетом эффектов памяти в уравнении (1), опираясь на производные дробных порядков [5], [6].

Работа выполнена при финансовой поддержке Гранта Президента РФ МД-758.2022.1.1.

Список литература:

1. Фирстов П. П. и др. Поиск предвестниковых аномалий сильных землетрясений по данным мониторинга подпочвенных газов на Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне // Геосистемы переходных зон, 2018, Т. 2, № 1, С. 16-32.
2. Фирстов П.П., Макаров Е.О. Динамика подпочвенного радона на Камчатке и сильные землетрясения. П.-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2018. – 147 с.
3. Гудзенко В.В., Дубинчук В.Т. Изотопы радия и радон в природных водах. М.: Наука, 1987. 45 с.
4. Dubinchuk V.T. Radon as a precursor of earthquakes / Isotopic geochemical precursors of earthquakes and volcanic eruption / Proceedings of an Advisory Group Meeting held in Vienna, Vienna, 9-12 September 1991. Vienna, 1991. P. 6-22.
5. Паровик Р. И. Математические модели неклассической теории эманационного метода. г. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2014.  80 с.
6. Паровик Р. И., Шевцов Б. М., Фирстов П. П. Модель переноса радона (222Rn) в режиме супердиффузии во фрактальной среде //Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук. 2008.  Т. 10. №. 2.  С. 79-85.