ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧ

Сапаров Тимур Ерсаинұлы

студент, НАО университета им. Шакарима,

Казахстан, г. Семей

Мырзағалиев Тамирлан Бауыржанұлы

студент, НАО университета им. Шакарима,

Казахстан, г. Семей

USE OF THE DERIVATIVE IN SOLVING PRODUCTION PROBLEMS

Timur Saparov

Student, Shakarim University,

Kazakhstan, Semey

Tamirlan Myrzagaliyev

Student, Shakarim University,

Kazakhstan, Semey

АННОТАЦИЯ

Цель - представить и рассказать ученикам о теме – производная и ее применение, закрепить знания по этой теме и обучить применять дифференциальное исчисление на практике в решение задач предметов разных областей науки. Например, производная имеет широкое применение в таких науках как физика, геометрия, химия, биология, экономика и другие. Ее можно использовать для решения нестандартных задач в жизни. В нашем же случае мы развиваем у учащихся кругозор так как производная применяется в разных областях жизни и науки и тем самым развивается умение применять дифференциальное исчисление на практике.

ABSTRACT

The goal is to present and tell students about the topic - derivative and its application, to consolidate knowledge on this topic and to teach how to apply differential calculus in practice in solving problems of subjects in different fields of science. For example, the derivative is widely used in such sciences as physics, geometry, chemistry, biology, economics, and others. It can be used to solve non-standard tasks in life. The educational system has always set itself the goal of preparing a competent, harmoniously developed, competitive person. All this is provided in the program of the educational process of the school.

Ключевые слова: производная, приращение функции, дифференциальное исчисление.

Keywords: derivative, function increment, differential calculus.

Задачи, приводимые к понятию производной функции

Пример 1. Пусть некоторая материальная точка М совершает прямолинейное движение. Каждому значению времени t поставим в соответствие длину пути, который прошла материальная точка М за время t. Так как это соответствие однозначное, то оно определяют некоторую функцию, то есть пройденный путь s можно рассматривать как функцию, зависящую от времени t:

s = f(t).                                                                            (1)

Отсюда, зная функциональную зависимость f(t), мы можем определить длину пути s, пройденного материальной точкой М за время t Рисунок 1- Прямолинейное движение материальной точки. Функция f(t) выражает закономерность движения материальной точки М. Если материальная точка находится в состоянии равномерного движения, то есть если она проходит равные расстояния за равные промежутки времени, то скорость этого движения будет постоянной. А если тело совершает неравномерное движение, то его скорость будет непостоянной, то есть с течением времени изменчивой. Например, скорость свободного падения тела. Поэтому для таких движений вводится понятие мгновенной скорости. Прежде чем перейти к этому понятию, сначала рассмотрим понятие средней скорости движения тела за определенный промежуток времени. [1]

Рисунок 1. Прямолинейное движение материальной точки

Определение. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t). Если s = f(t₀) = s₀ и f(t₁) = s₁, то выражение

                                                        (2)

называют средней скоростью движения материальной точки за промежуток времени от t₀ до t₁. [2]

Очевидно, что на различных этапах движения скорость материальной точки может быть различной. Например, если рассмотрим движение автомобиля, то мы берем среднюю скорость за определенный промежуток времени. Однако, автомобиль на некоторых участках пути может ускорить свое движение, а на других – замедлить свой ход.

Также мы знаем, что пройденный путь в режиме свободного падения определяется формулой s= . Здесь путь s измеряется в метрах, время t – в секундах и g  9,8 м/с².

Тогда тело за первую секунду падения пролетит s (1) =  4,9 м пути. А в промежутках от t₀ = 4 с до t₁ = 5 c тело проходит s(t₁) – s(t₀) =  м пути. Поэтому свободное падение не является равномерным движением.

Во многих задачах техники и естествознания нам необходимо знать не среднюю скорость движения тела, а его мгновенную скорость. Теперь определим это понятие. В момент времени t = t₀ зададим приращение  и рассмотрим среднюю скорость тела в промежутке времени от t₀ до t₀   :

Тогда мгновенной скоростью (t₀) тела в момент времени t =t₀ называется предел средней скорости  в промежутке от t₀ до t₀ при :

                                                 (3)

или, если учесть, что  , то

,

то есть мгновенная скорость  в момент времени t = t₀ исходя из формул (3) и (3.1) определяется пределом отношения приращения функции s = f(t) в точке t₀ к приращению аргумента   при . [3]

Пример 2. Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки х=
= x₀. Если в точке х = х₀, можно провести касательную к графику функции y= =f(x), то нужно написать уравнение этой касательной. Для этого определим понятие касательной, проведенной к данной кривой. Возьмем точки М₀(x₀; f(х₀)) и М₀(x; f(х)), принадлежащие графику функции y = f(x). Прямая М₀М называется секущей, проведенной к данной кривой Рисунок 2 – График функции y = f(x).

Рисунок 2. График функции y = f(x)

Определение. Если вдоль данной кривой точка М стремится к точке M₀, то предельное положение секущей М₀М называется касательной к графику функции y = f(x), проведенной в точке х = х₀ [4]

В этом определении вместо требования, что точка M стремится к точке М (ММ₀), достаточно потребовать, чтобы выполнялось х  х₀, Действительно, если х  х₀, то ясно, что М (x; f(x))  М₀, (х₀;f (x₀)), и, обратно, если ММ₀, , то х  х₀. Теперь напишем уравнение прямой М₀М, где М₀, (х₀;f (x₀)), М (x; f(x)). Если через (X; Y) обозначить координаты произвольной точки прямой М₀М, то по формуле прямой, проходящей через две заданные точки, имеем:

      (4)

Если ввести обозначение Δх = х – х₀, (x = x₀ + Δх), то f(x)=f(x₀) = (x₀, + +Δx) - f (х₀) - Δу, т.е. получили приращение функции в точке x = x₀. Тогда уравнение секущей М₀М (4) можно переписать в виде

                                      (4.1)

Исходя из формулы (4.1) по определению следует, что при х  х₀, (Δх ) получим уравнение касательной:

                                      (5)

Здесь

                                     6)

Итак, как мы увидели в примерах согласно формуле (5) и (6), предел

                                    (6.1)

играет определяющую роль и в них он занимает важное место. Согласно формуле (6.1), предел называют производной функции f(x) в точке х₀.

Список литературы:

1. Богомолов Н.В., Самойленко И.И. Математика. – М.: Юрайт, 2015.
2. Григорьев В.П., Дубинский Ю. А., Элементы высшей математики. – М.: Академия, 2014.
3. Баврин И.И. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 201
4. «Алгебра и начало анализа 10–11» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др.