СУЩЕСТВОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЦЕССА В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ С РАЗРЫВОМ

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЦЕССА В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ С РАЗРЫВОМ

Сугак Дмитрий Владимирович

канд. физ.-мат. наук, доц., Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации,

РФ, г. Санкт-Петербург

THE EXISTENCE OF AN OPTIMAL PROCESS IN THE CONTROL PROBLEM FOR A HYPERBOLIC SYSTEM WITH A DISCONNECTION

Dmitry Sugak

candidate of physical and mathematical sciences, assistant Professor, Saint Petersburg State University of Civil Aviation,

Russia, Saint Petersburg

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрена задача оптимального управления системой дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с разрывом [1]. Данная система относится к классу так называемых сингулярных систем с распределенными параметрами. В таких системах заданному управлению может не соответствовать единственное устойчивое состояние. А именно, данному управлению может вообще не соответствовать какое-либо состояние, либо таких состояний будет бесконечно много, либо состояние будет одно, но неустойчивое. В таких случаях применение классической теории оптимального управления [2] оказывается либо очень затруднительным, либо вообще невозможным.

ABSTRACT

The article considers the problem of optimal control of a system of partial differential equations of hyperbolic type with a discontinuity [1]. This system belongs to the class of so-called singular systems with distributed parameters. In such systems, a given control may not correspond to a single stable state. Namely, this control may not correspond to any state at all, or there will be infinitely many such states, or there will be one state, but unstable. In such cases, the application of the classical theory of optimal control [2] turns out to be either very difficult or impossible at all.

Ключевые слова: сингулярные системы; системы с распределенными параметрами; гиперболические системы.

Keywords: singular systems; distributed parameter systems; hyperbolic systems.

1. Введение

Системы с распределенными параметрами – это системы, описываемые уравнениями с частными производными [4] или интегро-дифференциальными уравнениями [3]. Иными словами, это системы, уравнение состояния которых есть уравнение с частными производными с граничными условиями или с начальными условиями, необходимыми для отыскания решения.

Сингулярные распределенные системы [1] или распределенные системы с особенностями – это системы, уравнение состояния которых, являющееся снова уравнением в частных производных или интегро-дифференциальным, представляет так называемые особенности, а именно: неустойчивость, явление разрыва, кратные решения и явления бифуркации.

Цель данной статьи – исследовать вопрос существования оптимального процесса в задаче управления системой гиперболических уравнений [4] с разрывом. Такая система дифференциальных уравнений в частных производных является сингулярной.

2. Формулировка задачи оптимального управления сингулярной распределенной системой.

Напомним общую схему задач управления распределенными системами, не сингулярными в данный момент. Изначально, как правило, задаётся уравнение состояния, записываемое символически в виде

                                                                                                                               (2.1)

Здесь  – оператор с частными производными или интегро-дифференциальный оператор, линейный или нелинейный, стационарный или нестационарный. К уравнению (2.1) необходимо добавить граничные условия, а если  – нестационарный оператор, то очевидно следует добавить и начальные условия. Эти разнообразные условия, которые следует уточнять для каждого из рассматриваемых классов операторов , зависят от конкретной задачи и уравнения, описывающего поведение объекта управления.

Переменная  в уравнении (2.1) есть переменная управления. Нас будут интересовать ситуации, когда  является распределенной по области, в которой протекает физическое явление, моделируемое уравнением (2.1). Стоит отметить, что в теории управления распределенными системами обычно принимается весьма общее предположение:

(П1) Для переменной , заданной в некотором множестве уравнение (2.1) имеет единственное решение .

Переменная  в уравнении (2.1) есть переменная состояния. Определенное, таким образом, решение  уравнения (2.1) определяет отображение

                                                                                                                                  (2.2)

Определив состояние , мы можем ввести функционал, который каждому  из множества управлений ставит в соответствие число , задаваемое равенством

                                                                                                                     (2.3)

Здесь функционалы  и  определены соответственно на множестве состояний и на множестве управлений и принимают действительные значения. В большинстве приложений функционал  есть функция нормы управления . Таким образом, он на самом деле определяет банахово [5] пространство . Поэтому выбор пространства  управлений  определяется функционалом. Как только  фиксировано, становится известно, где изменяется  для , что в свою очередь дает возможность определить функциональные границы, в которых решается уравнение (2.1), и тем самым ввести банахово пространство , в котором отыскивается решение . Предположение (П1) при этом уточняется следующим образом:

(П) для  уравнение (2.1) имеет единственное решение .       (2.4)

Кроме того, в задачах управления распределенными системами обычно вводится еще два предположения:

(П2) отображение , ,  дифференциируемо.

(П3) функционалы  и  – дифференцируемые отображения  и .

Задача оптимального управления состоит в нахождении

                                                                                                                                       (2.5)

когда  пробегает множество  или допустимое подмножество . Множество  выражает ограничения на . Случай, когда  пробегает всё пространство , есть так называемый случай без ограничений. Будем далее предполагать ситуацию с ограничениями на управление

                                                                                                                                      (2.6)

и на состояние

                                                                                                                                    (2.7)

Здесь  - заданное подмножество .

Прежде чем перейти к сингулярным ситуациям, в которых (П1) не имеет места, опишем всё ещё на формальном уровне структуру необходимых условий для задачи (2.5) при предположениях (П1) - (П3) и при допущении существования оптимального управления .

Итак, пусть  - оптимальное управление и пусть  – соответствующее оптимальное состояние. Тогда существует тройка , удовлетворяющая системе

                                                                                                 (2.8)

Будем далее предполагать, что в исходной задаче нет ограничений на состояние. В (2.8)  (соответственно ) означает оператор, сопряженный с производной оператора  (соответственно ) в точке  (соответственно ). При этом предполагается, что упомянутые производные существуют.

Согласно предположению (П1), сопряженное состояние  определяется единственным образом вторым уравнением в (2.8). В последнем неравенстве системы (2.8), которое может само по себе представлять систему вариационных неравенств [7], предполагается, что  – выпукло.  Во втором уравнении системы (2.8) обычно устанавливаются граничные условия и, если таковые имеются, начальные условия, которым удовлетворяет . После уточнения всех функциональных пространств, в которых формулируется задача управления, ее решение сведется к применению формул Грина [4].

Однако, разнообразные физические и инженерные приложения неизбежно приводят к отказу от некоторых предположений, изложенных выше. Отметим, что именно в явлениях, в которых появляются свободные поверхности, таких как плавка стали и управление плазмой, предположение (П2) не выполняется.

Может также оказаться, что предположение (П3) не имеет места, то есть  или  не дифференцируемы или даже функция  не определена на пространстве, пробегаемом , когда  пробегает . Такие ситуации очень часто имеют место в задачах точечного управления [1].

Если функция  определена на пространстве , содержащемся строго в , то необходимо взять , где . Очевидно, что появляются и соответствующие ограничения на состояние. В этом случае  – есть векторное пространство, наделенное топологией, более слабой [6], чем топология, индуцируемая пространством . Примеры таких ситуаций изучались в работе [8].

В заключение отметим, что различные явления с кратными состояниями в химических реакциях, управление гибкими устойчивыми структурами, некоторые периодические по времени задачи, возникающие при переносе энергии приводят также и к отказу от предположения (П1). Таким образом, мы должны иметь возможность рассматривать ситуации, в которых уравнение (2.1) либо не имеет решения, либо имеет сколь угодно большое количество решений, либо решения (2.1) неустойчивы. И во всех этих случаях мы будем неизбежно сталкиваться с задачами управления сингулярными распределенными системами.

3. Задача оптимального управления системой гиперболических уравнений с разрывом.

Рассмотрим в открытом множестве  процессы , где   – управление,  – состояние, удовлетворяющие уравнению

                                                                                                                         (3.1)

с начальными условиями

,  в , ,                                                                                 (3.2)

и граничным условием

 на .                                                                                                                                 (3.3)

Пространства  и ,  где  определены в [3] и [4]. Граница области  обозначена .  Пусть далее

,                                                                                                                         (3.4)

Рассмотрим замкнутое выпуклое множество [5]

,                                                                                                                             (3.5)

и определим процесс , где  и  удовлетворяют (3.1) - (3.3). Предположим, что множество допустимых процессов не пусто:

                                                                                                                                    (3.6)

Определим функционал

                                                                                                                (3.7)

Здесь  и  заданы. Нормы в (3.7) определены в пространствах  и . Рассмотрим задачу оптимального управления:

                                                                                                                                   (3.8)

на множестве допустимых процессов .

Теорема о существовании оптимального процесса.

В задаче (3.1) - (3.3), (3.8) существует оптимальный процесс , то есть

                                                                                                                          (3.9)

на множестве всех допустимых процессов .

Доказательство:

Пусть  минимизирующая последовательность для функционала . Из (3.7) следует, что

,                                                                                                                         (3.10)

где   - некоторая положительная константа.

Следовательно, последовательность

ограничена в  и поэтому

                                                                                                  (3.11)

где   - некоторая положительная константа.

Из (3.11) следует, что так как

                                                                                                                        (3.12)

где   - некоторая положительная константа. Кроме того,

                                                                                                                              (3.13)

при  и при  и для любого конечного  при , где  – некоторое предкомпактное множество [5]. Следовательно, можно выбрать такую подпоследовательность , что

В предельном переходе, таким образом, получаем, что поскольку  есть допустимый процесс и  , то на процессе  достигается оптимум функционала (3.7). Теорема доказана.

Список литературы:

1. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 С.
2. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: ЛЕНАНД, 2019. – 64 С.
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – 5-е издание. – М.: Наука, 1988. - 512 С.
4. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными, - 3-е издание. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 260 С.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – 7-е изд.  –  М.: ФИЗМАТЛИТ. 2012. - 572 С.
6. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 359 С.
7. Лионс Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 С.
8. Lions J. L. Some methods in the mathematical analysis of systems and their control. – Beijing: Science Press, 1981.