ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кузнецова Валентина Анатольевна

студент, Сибирский государственный индустриальный университет,

РФ, г. Новокузнецк

 Панова Виктория Сергеевна,

студент, Сибирский государственный индустриальный университет,

РФ, г. Новокузнецк

Коваленко Виктор Викторович,

д-р физ.-мат. наук, проф., Сибирский государственный индустриальный университет,

РФ, г. Новокузнецк

EXPERIMENTAL VERIFICATION OF THE BASIC LAW OF ROTATIONAL MOTION DYNAMICS

Valentina Kuznetsova

student, Siberian State Industrial University,

Russia, Novokuznetsk,

Victoria Panova

student, Siberian State Industrial University,

Russia, Novokuznetsk,

Viktor Kovalenko

doctor of physical and mathematical sciences, professor, Siberian State Industrial University,

Russia, Novokuznetsk

АННОТАЦИЯ

Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела. Метод экспериментальной физики – метод маятника Обербека. Подтвержден основной закон динамики вращательного движения. Выполнен расчет наилучших значений параметров уравнений регрессии, входящих в экспериментальное уравнение основного закона динамики вращательного движения твердого тела.

ABSTRACT

Verification of the basic law of the dynamics of rotational motion of a rigid body. The method of experimental physics is the Oberbeck pendulum method. The basic law of rotational motion dynamics has been confirmed. The calculation of the best values ​​of the parameters of the regression equations included in the experimental equation of the basic law of the dynamics of the rotational motion of a rigid body is performed.

Ключевые слова: вращательное движение, закон динамики, угловое ускорение, момент сил, момент инерции, метод наименьших квадратов.

Keywords: rotational motion, law of dynamics, angular acceleration, moment of forces, moment of inertia, least squares method.

Основной закон динамики вращательного движения утверждает, что угловое ускорение тела () при вращательном движении прямо пропорционально результирующему моменту сил (), приложенных к нему, и обратно пропорционально его моменту инерции () [1]:

                                                                    (1)

Различные физические явления и технические процессы с математической точки зрения выражаются изменением тех или иных величин, которые меняются с изменением условий опыта. Задача же измерений состоит в нахождении функциональной зависимости, которая наилучшим образом описывает закон изменения интересующей нас величины [2]. Исследование зависимости (1) проводилось в двух экспериментах.

В первом эксперименте проведена проверка зависимости углового ускорения тела () от момента сил () при постоянном значении момента инерции (), во втором эксперименте проведена проверка зависимости углового ускорения тела () от момента инерции () при постоянном значении результирующего момента сил (). Для достижения поставленной цели эксперимент проводился на экспериментальной установке «маятник Обербека», принципиальная схема которого представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Принципиальная схема маятника Обербека

Эксперимент 1: результаты и обсуждение

В эксперименте 1 проведена проверка основного закона динамики вращательного движения при постоянном значении момента инерции ().

В качестве экспериментальных зависимостей момента сил и углового ускорения выбираются уравнения (2) и (3) соответственно.

Момент силы натяжения нити:

                                                     (2)

где m – масса груза, подвешенного на нити,

r – радиус шкива,

h – вертикальное перемещение груза,

t – время вертикального перемещения груза.

Угловое ускорение груза:

                                                               (3)

В процессе эксперимента проведены измерения указанных в (2) и (3) физических величин, результаты которых представлены в таблицах 1, 2, 3.

Таблица 1 .

Результаты измерений в эксперименте с r₁

Таблица 2.

Результаты измерений в эксперименте с r₂

Таблица 3.

Результаты косвенных измерений момента сил и углового ускорения

По результатам эксперимента (таблица 3) были построены эмпирические линии регрессии, отражающие экспериментальные зависимости углового ускорения от момента сил при постоянном значении момента инерции (рисунок 2).

Рисунок 2. Эмпирическая зависимость углового ускорения от момента сил при постоянном значении момента инерции

1 – радиус шкива r₁, 2 – радиус шкива r₂

Как видно из рис. 2 внешний вид эмпирических линий регрессии не удовлетворяет основному закону динамики вращательного движения (1), отражающему линейную зависимость между физическими величинами, так как экспериментальные точки не укладываются на прямой. Для установления вида теоретического уравнения регрессии было выполнено аналитическое решение, основанное на методе наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов позволяет определять наилучшие значения параметров и наилучшее положение эмпирической кривой относительно экспериментальных данных, при котором экспериментальные точки будут ближе расположены к эмпирической линии. Пусть даны несколько экспериментальных точек (x₀, y₀), (x₁, y₁), (х₂, у₂),...(х_i, у_i). Задача заключается в том, чтобы найти уравнение прямой (уравнение теоретической линии регрессии), проходящей через эти точки, описываемой уравнением линейной функции вида y = ax + b, где х – независимая переменная, a – угловой коэффициент прямой, b – свободный коэффициент.

Известная линейная теоретическая зависимость (1) позволяет решать поставленную задачу поиска теоретического уравнения регрессии в аспекте линейной зависимости. Таким образом, требуется найти такие значения a и b, чтобы сумма всех невязок была наименьшей.

Решение системы уравнений [2]:

                                             (4)

позволяет рассчитать коэффициенты a и b по формулам:

;                                                           (5)

                                                 (6)

За х принимаем момент силы натяжения нити М, за у принимаем угловое ускорение маятника ε, количество измерений n равно 5.

Таким образом, были получены значения коэффициентов a и b теоретических уравнений регрессии (таблица 4):

Таблица 4.

Результаты расчетов и теоретические уравнения регрессии

По результатам эксперимента (таблица 3 и 4) были построены теоретические линии регрессии, удовлетворяющие экспериментальным данным зависимости углового ускорения  от момента сил  при постоянном значении момента инерции  (рисунок 3).

Рисунок 3. Зависимость углового ускорения от момента сил.

1 – радиус шкива r₁, 2 – радиус шкива r₂

Для оценки «тесноты связи» эмпирической и теоретической линий регрессии был рассчитан коэффициент парной корреляции по формуле (7):

 где – среднее квадратичное случайной величины x,

 – среднее квадратичное случайной величины y.

Таблица 5.

Результаты расчета коэффициента парной корреляции

Для случая с r₁ коэффициент парной корреляции равен 1, для случая с r₂ коэффициент парной корреляции равен 0,999.

Эксперимент 2: результаты и обсуждение

В эксперименте 2 проведена проверка основного закона динамики вращательного движения при постоянном значении результирующего момента сил ().

Первая серия опытов выполнена для шкива радиусом r₁ = 0,0350 м и разновеса массой m = 70 г, для чего два и четыре груза массой m₀ = 114 г размещались на максимальном расстоянии от оси вращения (рис. 1). Не меняя массу наборного груза при различных расстояниях грузов R_i до оси вращения маятника, с шагом 20 мм были проведены измерения времени движения грузов.

В качестве экспериментальных зависимостей углового ускорения от момента инерции выбирались уравнения (3) и (9).

Момент инерции:

где R_i – расстояние от грузов m₀ до оси маятника,

r – радиус шкива,

h – вертикальное перемещение груза,

t – время вертикального перемещения груза.

В процессе эксперимента проведены измерения указанных в (3) и (9) физических величин, результаты которых представлены в таблицах 6, 7, 8.

Таблица 6.

Результаты измерений в эксперименте с двумя грузами

Таблица 7.

Результаты измерений в эксперименте с четырьмя грузами

Таблица 8.

Результаты косвенных измерений момента инерции и углового ускорения

По результатам эксперимента (таблица 8) были построены эмпирические линии регрессии, отражающие экспериментальные зависимости углового ускорения от обратного значения момента инерции при постоянном значении момента сил (рис. 4).

Рисунок 4. Эмпирическая зависимость углового ускорения от обратного значения момента инерции при постоянном значении момента сил

1 – 2 груза массой 2m₀, 2 – 4 груза массой 4m₀

В работе выполнен расчет коэффициентов a и b уравнения регрессии по формулам (5) и (6). За х принимаем обратное значение момента инерции , за у принимаем угловое ускорение маятника ε, количество измерений n равно 5. Значения коэффициентов a и b теоретических уравнений регрессии представлены в таблице 9.

Таблица 9.

Результаты расчетов и теоретические уравнения регрессии

По результатам эксперимента (таблицы 8 и 9) были построены теоретические линии регрессии, удовлетворяющие экспериментальным данным зависимости углового ускорения  от обратного значения момента инерции  при постоянном значении момента сил  (рис. 5).

Рисунок 5. Зависимость углового ускорения от обратного значения момента инерции

1 – 2 груза массой 2m₀, 2 – 4 груза массой 4m₀

По формуле (7) рассчитан коэффициент парной корреляции, его результаты представлены в таблице 10.

Таблица 10.

Результаты расчета коэффициента парной корреляции

В первом случае коэффициент парной корреляции равен 0,994, во втором случае коэффициент парной корреляции равен 1.

Таким образом, в работе с применением методов экспериментальной физики и регрессионного анализа проведено исследование основного закона динамики вращательного движения. Экспериментально подтверждена зависимость углового ускорения тела  от результирующего момента сил  при постоянном значении момента инерции и зависимость углового ускорения тела  от момента инерции  при постоянном значении результирующего момента сил, что указывает на подтверждение основного закона динамики вращательного движения твердого тела.

Список литературы:

1. Савельев И.В. Курс общей физики: учебное пособие для вузов: в 3 т. Т.1. – : Механика. Молекулярная физика / И.В. Савельев – СПб.: Лань, 2008. – 432 с.
2. Коваленко В. В. Основы метрологии и обработки результатов измерений : учебное пособие / Сиб. гос. индустр. ун-т ; сост. В. В. Коваленко. – Новокунецк: Издательский центр СибГИУ, 2016. – 96 с.