РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРАМОТНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ СРЕДСТВАМИ ГЕОМЕТРИИ

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРАМОТНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ СРЕДСТВАМИ ГЕОМЕТРИИ

Ушаков Андрей Владимирович

канд. физ.-мат. наук, доц., Московский городской педагогический университет, департамент математики и физики,

РФ, г. Москва

DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL LITERACY OF SCHOOLCHILDREN BY MEANS OF GEOMETRY

Andrey Ushakov

Ph.D. in pphysics and mathematics, associate professor, Moscow city teachers' university, department of mathematics and physics,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Научно-технические достижения во всех областях человеческой деятельности предъявляют новые требования к знаниям, технической культуре, общему и прикладному характеру образования. Это ставит перед современной школой новые задачи подготовки обучающихся к практической деятельности. Вот почему одним из основных направлений модернизации современного математического образования является усиление практической направленности курса математики. Цель предлагаемой статьи состоит в том, чтобы на примере практико-ориентированных задач, продемонстрировать возможности математического моделирования реальных ситуаций средствами геометрии. Статья написана в рамках выполнения Государственной работы «разработка учебно-методического комплекса для подготовки учителей к формированию у обучающихся математической грамотности». Она адресована широкому кругу лиц: учителям, ученым-педагогам, методистам, авторам учебников и учебных пособий по математике, специалистам в области педагогических измерений, а также учащимся учреждений общего, среднего и высшего образования.

ABSTRACT

Scientific and technical achievements in all areas of human activity impose new requirements on knowledge, technical culture, the general and applied nature of education. This poses new tasks for the modern school to prepare students for practical activities. That is why one of the main directions of modernization of modern mathematical education is to strengthen the practical orientation of the mathematics course. The purpose of the proposed article is to demonstrate the possibilities of mathematical modeling of real situations by means of geometry. The article was written as part of the implementation of the State work "development of an educational and methodological complex for the preparation of teachers for the formation of mathematical literacy in students". It is addressed to a wide range of people: teachers, scientists-teachers, methodologists, authors of textbooks and manuals in mathematics, specialists in the field of pedagogical measurements, as well as students of institutions of general, secondary, and higher education.

Ключевые слова: математическая грамотность, задачи практического содержания, элементарная геометрия, математическое моделирование, обучение, преподавание.

Keywords: mathematic literacy, problems of practical content, elementary geometry, mathematical modeling, training, teaching.

Под математической грамотностью понимается способность человека мыслить математически, формулировать, применять и интерпретировать математику для решения задач в разнообразных практических контекстах. Формировать эту способность у школьников позволяют специальные задачи, в которых на примере исследования реальных проблемных ситуаций раскрывается практическая значимость математики, широта и общность ее выводов.

Курс элементарной геометрии занимает особое место с точки зрения развития математической грамотности школьников. Это связано с тем, что геометрия уже на первых этапах своего развития являлась практико-ориентированной наукой. Само слово «геометрия» переводится с древнегреческого языка как «землемерие». Начальные геометрические понятия часто возникли в ходе наблюдений реальных предметов разной формы. Познавая окружающий мир, люди знакомились с простейшими геометрическими фигурами и открывали их свойства. Накопленный опыт требовал обобщения и систематизации, вследствие чего предметом геометрии стали не реальные, а идеальные фигуры, являющиеся образами конкретных предметов. Разрозненные геометрические знания постепенно объединились в строгую научную теорию, характеризующуюся высоким уровнем абстракции. Теперь геометрия развивается согласно своей внутренней логике и не имеет сугубо утилитарного значения, однако существенно возросли ее возможности для описания сложных закономерностей окружающей действительности. Включение в процесс обучения геометрии задач практического содержания обеспечит лучшее понимание абстрактных теоретических рассуждений и громоздких вычислений по сложным формулам, продемонстрирует связь между явлениями реального мира и его геометрическими моделями, а также будет иллюстрировать взаимообогащение теории и практики в историческом контексте.

На представленной далее модельной схеме (Рис. 1.) показаны особенности применения основных разделов курса элементарной геометрии в задачах практического содержания.

Рисунок 1. Модельная схема

На основе этой схемы автором были разработаны задачи по геометрии практического содержания с указанием обязательной преамбулы, общей характеристики и краткого решения. Сами задачи соответствуют четырем категориям математического содержания (количество, изменение и зависимости, пространство и форма, неопределенность и данные) и трем процессам цикла их решения (формулирование, применение, интерпретация и оценивание). Приведем несколько примеров.

Задача 1. «Вышка сотовой связи».

Современный мир вряд ли можно представить без новомодных смартфонов и мобильной связи. Бесперебойная работа сотовых сетей обеспечена большим количеством базовых станций (сот), которые служат для соединения мобильных устройств друг с другом и всех их с сетью. Сама базовая сотовая станция – это комплекс из антенн, радио модуля и блока питания. Антенны принимают и передают сигнал, радио модуль его обрабатывает и усиливает, а блок питания снабжает базу электроэнергией. Идеальная высота для размещения этого оборудования от 15 до 60 метров над землей, поэтому обычно его устанавливают на специальных вышках. Они окружают нас, часто мы просто их не замечаем. Но мобильный телефон работает, значит приёмо-передатчик где-то рядом (Рис. 2.).

Рисунок 2. Иллюстрация к задаче №1

Задание. Вышка сотовой связи имеет радиус действия R = 20 км и установлена в районе, где плотность населения составляет r = 23 чел/км².

Вопрос. Сколько человек могут находиться в зоне покрытия этой вышки?

Таблица 1.

Характеристика задания

Решение задания. Площадь зоны покрытия вышки равна S = π × R² = 400p км², Поскольку S × r = 9200π, то 28902 < S × r < 28903. Значит в зоне покрытия могут одновременно находиться 28902 человека. Ответ: 28902.

Задача 2. «Железобетонная панель».

Стеновые железобетонные панели представляют собой деталь конструкции стены, которая изготовлена из бетона в промышленных условиях и укреплена разного рода арматурой (сетками или прутами). Она характеризуется прочностью и огнеупорностью. Высокая скорость постройки из бетонных панелей является причиной их массового использования при строительстве частных коттеджей, малоэтажных жилых домов, государственных учреждений и промышленных зданий. Готовые железобетонные панели строительная компания перевозит со склада производителя на стройплощадку (Рис. 3.).

Рисунок 3. Иллюстрация к задаче №2

Задание. Железобетонная панель имеет размеры 600×150×25 см. По всей её длине есть 8 цилиндрических отверстий, диаметры которых равны D = 14 см. Плотность материала панели составляет r = 2,5 т/м³. Для перевозки таких панелей используется панелевоз грузоподъемностью M = 20 т.

Вопрос. Сколько таких панелей может увезти панелевоз?

Таблица 2.

Характеристика задания

Решение задания. Объем параллелепипеда с измерениями a = 6 м (длина), b = 1,5 м (ширина), c = 0,25 м (высота) равен V₁ = a × b × c = 2,25 м³, а объем цилиндра с радиусом основания r = D / 2 = 0,07 м и высотой a = 6 м равен V₂ = π × a × r² = 0,0294 м³. Тогда объем самой панели равен V = V₁ – 8V₂ = (2,25 – 0,2352π) м³. Зная плотность материала r = 2,5 т/м³, найдем массу панели m = r × V = (5,625 – 0,588π) т. Поскольку3,1 < π < 3,2  то 3,7434 < m < 3,8022 или 3,7 < m < 3,8. Отсюда следует, что 5m < 19 < 20, а 6m > 22,2 > 20. Таким образом, 5 < M / m < 6, поэтому панелевоз сможет увезти 5 таких панелей. Ответ: 5.

Задача 3. «Чаепитие».

Почти каждый человек начинает свое утро с чашечки ароматного чая. Мы настолько привыкли его пить, что даже не представляем, как без него обойтись. Он является тонизирующим напитком и дает заряд бодрости, так необходимый в начале трудового дня. Некоторые сорта чая содержат достаточное количество кофеина, который способствует повышению артериального давления и возбуждению нервной системы. В чай обычно добавляется сахар - дополнительный углевод, который также стимулирует повышенную работоспособность. Каждый человек волен употреблять этот напиток так, как ему нравится. Кто-то добавляет мед или кусочек лимона. Но практически каждый житель на земле добавляет сахар, и не приемлет без него чай (Рис. 4).

Рисунок 4. Иллюстрация к задаче №3

Задание. Стакан имеет форму усеченного конуса высотой H = 9 см и диаметрами оснований d = 6 см и D = 8 см. Этот стакн заполнили чаем на 97% и собираются добавить туда сахар из стандартной коробки массой 1 киллограмм, вмещающей 200 одинаковых кусков сахара плотностью r = 1,6 г/см³. Чтобы напиток стал достаточно сладким, требуется положить в него не менее трех кусков сахара.

Вопрос. Можно ли это сделать не преполнив стакан?

Таблица 3.

Характеристика задания.

Решение задания. Найдем радиусы оснований r = d / 2 = 3 см и R = D / 2 = 4 см. Общий объем стакана составляет V = (1/3)π × H × (r² + R² + r × R) = 111p см³, из которых свободно 3% или V₁ = (3/100)V = 3,33p см³. Один кусок сахара массой M = 1000/200 = 5 г занимает объем V₂ = M / r = 3,125 см³. Поскольку 3 < V₁ / V₂ < 4, то 3 куска сахара положить можно. Ответ: можно.

По результатам проведенного исследования можно сделать вывод, что в плане развития математической грамотности наиболее перспективны метрические задачи на вычисление длин площадей или объемов, которые по содержательной области относятся в основном к разделу «измерения и количество», а по контексту соответствуют темам «производство» или «наука и техника».

Список литературы:

1. Денищева Л.О., Савинцева Н.В., Сафуанов И.С., Ушаков А.В., Чугунов В.А., Семеняченко Ю.А. Особенности формирования и оценки математической грамотности школьников // Science for Education Today. – 2021. – Том 11, № 4. – С. 113-135.
2. Рослова Л. О., Квитко Е. С., Денищева Л. О., Карамова И. И. Проблема формирования способности "применять математику" в контексте уровней математической грамотности // Отечественная и зарубежная педагогика. – 2020. – Т. 2, № 2. – С. 74–99.
3. Смирнов В.А. Геометрические задачи с практическим содержанием / В.А. Смирнов, И.М. Смирнова. – М.: МЦНМО, 2015. – 216 с.