ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ОДИНОЧНОГО ЭЛЕКТРОНА ВОКРУГ ИОНА В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗИРОВАННОЙ ПЛАЗМЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ОДИНОЧНОГО ЭЛЕКТРОНА ВОКРУГ ИОНА В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗИРОВАННОЙ ПЛАЗМЕ

Кашин Александр Иванович

магистрант, направление «Приборостроение», Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д.Ф. Устинова,

РФ, г. Санкт-Петербург

Рассмотрим траекторию движения свободного электрона вокруг иона в полностью ионизированной плазме для определения сечения взаимодействия между частицами.

Примем во внимание, что масса электрона намного меньше массы иона, следовательно, в данной траекторной задаче ион будет представлять из себя стационарный объект.

По второму закону Ньютона:

Проецируя на оси x и y, получаем:

где: – кулоновское взаимодействие между частицами [1]

где: – расстояние между электроном и ионом (x и y – координаты электрона;

-фокус гиперболы, по траектории которой движется электрон, в фокусе расположен ион);

e – заряд электрона;

– диэлектрическая постоянная.

Тогда

Используя, систему уравнений (5) и выражение (4), подставим их в (3),

Таким образом, получены выражения для x и y компонент силы, действующей на электрон.

Из (2) выведем ускорения:

Из этого следует, что

Так, рассмотрим задачу, при которой электрон подлетает к иону с постоянным прицельным параметром [2]; Прицельный параметр представляет из себя расстояние между вектором начального направления электрона (при , то есть на дальних расстояниях от иона, при которых электрон не ощущает на себе воздействия) и осью, параллельной направлению начального вектора электрона и проходящей через фокус гиперболы.

Для дальнейшей работы с полученными выражениями для 2-ых производных координат х и у их следует привести в безразмерный вид, то есть поделить на прицельный параметр P ().

Так, получаем размерность , обозначим ее как:

и обозначим все безразмерные величины, как:

Переобозначим и приведем в безразмерный вид, поделив на

Таким образом получены безразмерные выражения для ускорения ( и ), зависящие от координат.

Рассмотрим уравнение гиперболы [3]

На больших расстояниях от фокуса гиперболы (в получаем:

Тогда тангенс угла между осью х и асимптотой гиперболы равен:

Найдем синус этого угла

Расстояние от начала координат до фокуса гиперболы при b=1:

Теперь возьмем производную из уравнения гиперболы для того, чтобы узнать выражения для скоростей на всем диапазоне гиперболы:

Берем вторую производную и выражаем . и подставляем из полученных ранее выражений.

Получаем

Тогда, подставив все начальные условия данное выражение упроститься:

Таким образом, мы имеем систему

С начальными условиями для интегрирования:

Зная , получаем, что момент

Следовательно, при P=1.

Приведем все обратно в размерный вид:

Тогда

Подставим

Исходя из полученных выражений можно варьировать, например скорость подлета электрона и интегрировать по прицельному параметру. Верхняя граница интегрирования будет равняться Дебаевскому радиусу [4], таким образом получатся все возможные гиперболические траектории движения электрона вокруг иона.

Ниже представлены графики траектории движения электрона вокруг неподвижного иона с различными скоростями подлета электрона (рис. 1-4), а также разными прицельными параметрами при фиксированной скорости подлета (рис. 5-8).

Список литературы:

1. Сивухин Д. В. – Общий курс физики. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — С. 17. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3.
2. Mitchner M., Kruger Charles H., JR. – Partially ionized gases [Текст]/ Department of mechanical engineering, Stanford university, New York, 1973
3. Бронштейн И.Н. – Гипербола [Текст]/ Квант. — 1975. — № 3.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. – Теоретическая физика, том 10 [Текст]/ Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1979 г.