ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Убайдуллаева Шахноза Рахимджановна

канд. техн. наук, доц., Ташкентский институт инженеров ирригации и мелиорации сельского хозяйства,

Узбекистан, г. Ташкент

STUDY OF THE DYNAMICS OF A LINEAR STATIONARY SYSTEM WITH A VARIABLE DELAY

Shakhnoza Ubaydullayeva

Candidate of technical sciences, associate Professor, Tashkent institute of irrigation and agricultural mechanization engineers,

Uzbekistan, Tashkent

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается задача исследования динамики линейных объектов с переменным запаздыванием на основе графовых моделей. Линейная система с переменным запаздыванием поддаётся исследованию с помощью матричных уравнений. Графы переходных состояний, позволяют обойти трудоёмкие вычисления, исключить операций, связанные с неплотностью матриц. Приведенную схему можно использовать для расчета процессов в системах с переменным запаздыванием по состоянию и по  управлению

Ключевые слова: динамический объект с запаздыванием, линейная система с переменным запаздыванием, графовая модель системы, расчет динамических процессов. 

Введение. Многие математические модели технологических процессов являются динамическими объектами с запаздыванием. Эффект запаздывания затрудняет стабилизацию, уменьшает качественные показатели систем.  В данной работе рассматриваются непрерывные линейные объекты с переменным запаздыванием в цепи обратной связи. Алгоритм расчета процессов может использоваться также для систем с переменным запаздыванием по управлению.

Постановка задачи. Теперь перейдем к рассмотрению линейной системы с переменным запаздыванием в цепи обратной связи (рис.1).

Рисунок  1. Линейной системы с переменным запаздыванием в цепи обратной связи

Дифференциальное уравнение системы имеет вид:

.                 (1)

Здесь физическая картина процессов несколько иная, чем в системе с постоянным запаздыванием. По причине переменности величины запаздывания выходной сигнал x₁(t), проходя через звено запаздывания, деформируется на оси времени (происходит либо «сжатие», либо «растяжение» сигнала, хотя все мгновенные значения сохраняются). Длительность выходного сигнала звена переменного запаздывания y(t) отлична от длительности «записанного» сигнала . Эта длительность будет определяться моментом появления величины x₁(t₀) на выходе звена переменного запаздывания. По определению звена переменного запаздывания:  

                                                        (2),

                                                       (3).

         Определив момент появления на выходе звена запаздывания мгновенного значения сигнала x₁(t₀)  из уравнения (3), можно найти выходной процесс системы на отрезке времени . Дифференциальное уравнение (1) заменим соответствующей системой дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эта система уравнений может быть записана в векторной форме:

,                            (4)

с начальной функцией  для .

Для решения уравнения (4) используем преобразование Лапласа:

.                          (5)

где  – заданная начальная функция, определенная на начальном множестве   Совершая элементарные преобразования, находим 

                        (6)

где

Применив обратное преобразование Лапласа к выражению (6), получим:

           (7)

Уравнение (5) описывает процессы в системе на отрезке .  Поскольку функция  является известной для , то уравнение (5)  превращается в обыкновенное алгебраическое уравнений  и решается любым из известных для этих уравнений методом. Для отыскания значения конечной точки t₁ воспользуемся соотношением . Решая это функциональное уравнение относительно t₁, мы и находим искомую точку  отрезка .

Возьмем теперь в качестве нового начального момента точку t₁.  Это позволяет перейти к следующему шагу решения уравнения (10). Для отрезка времени  предыдущее решение будет играть роль начальной функции. Подставляя  в уравнение (5), получим:

,

откуда

             (8)

Выражение (8) является решением уравнения (4) на промежутке [t₁, t₂], где конечная точка t₂ определяется из функционального уравнения.

                                           (9)

Таким образом можно определить процессы для последующих интервалов времени.

Линейная система с переменным запаздыванием поддаётся исследованию с помощью матричных уравнений и преобразования Лапласа. Но соотношение (6) можно получить и с помощью графов переходных состояний, позволяющих обойти трудоёмкие вычисления, исключить операций, связанные с неплотностью матриц. Графовая модель дифференциального уравнения системы с переменным запаздыванием (1) приведена на рисунке 2. Граф переходных состояний системы с переменным запаздыванием для отрезков времени t Є [t_k, t_k+1]  (k=0,1, …, N) изображен на рис.3.

Рисунок 2. Графовая модель системы с переменным запаздыванием

Рисунок 3. Граф переходных состояний (ГПС) системы с переменным запаздыванием

Результаты исследований.  На основе разработанного алгоритма рассчитан   выходной процесс в системе, структурная схема которой изображена на рис. 4. Параметры звеньев: k=1, a=0, b=2, запаздывание представляет собой линейно-убывающую функцию - . Начальная функция, заданная из начальном множестве   равна ϕ(t)=0, начальные условия – нулевые.

Рисунок 4. Структурная схема двумерной системы с переменным запаздыванием

Конец первого отрезка  на котором определяется процесс, найдем из уравнения , откуда . Для отрезка [0,2] графовая модель системы имеет вид, изображенный на рис.5.

Рисунок 5. Графовая модель системы

Из рассмотрения графа можно записать:

Обозначим . Переходя к оригиналам будем иметь

Из последних двух соотношений найдем значения координат в момент времени . Конец второго отрезка  найдем из уравнения:  откуда . Решение, полученное на первом отрезке,  является начальной функцией для процессов на отрезке [2,3.3]. Определяем по графу изображения по Лапласу переменных состояния системы. Используя разработанный алгоритм можно определить переменные системы на последующих отрезках времени.

Выводы. В работе рассмотрены вопросы исследования динамических процессов в линейных системах с переменным запаздывающим сигналом. Использован метод динамических графовых моделей, который позволяет обойти трудоёмкие вычисления, исключить при расчетах операции, связанные с неплотностью матриц. Следующим этапом исследований является использование графового моделирования для расчета многомерных линейных непрерывных процессов с переменными запаздываниями в каналах управления.

Список литературы:

1. S. R. Ubaydulayeva and A. M. Nigmatov, "Development of a Graph Model and Algorithm to Analyze the Dynamics of a Linear System with Delay," 2020 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), Sochi, Russia, 2020, pp. 1-6, doi: 10.1109/ICIEAM48468.2020.9111939.
2. S. R. Ubaydullayeva, D. R. Kadirova and D. R. Ubaydullayeva, "Graph Modeling and Automated Control of Complex Irrigation Systems," 2020 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russia, 2020, pp. 464-469, doi: 10.1109/RusAutoCon49822.2020.9208076.