АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПОСОБА НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ РИМАНА – ОДНОЙ ИЗ 7 ПРОБЛЕМ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ (ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АСПЕКТ)
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПОСОБА НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ РИМАНА – ОДНОЙ ИЗ 7 ПРОБЛЕМ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ (ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АСПЕКТ)
Reuven Tint
Number Theorist,
Nesher, Israel
АННОТАЦИЯ
В настоящей работе доказана теорема о том, что каждое натуральное число является источником для получения всех соответствующих последовательных значений простых чисел.
Приведена ограниченная непрерывная кривая - соответствующее геометрическое место точек для гипотенуз прямоугольных треугольников, проходя через каждую из которых они принимают минимальные значения, являющиеся при определенных условиях последовательными значениями соответствующих простых чисел.
В работе также приведены некоторые следствия и полное доказательство гипотезы Римана с примерами - решена одна из 7 проблем тысячелетия.
В заключение получены и приведены ряд формул для нахождения всех соответствующих последовательных значений простых чисел (бесчисленного множества).
Ключевые слова: простые, числа, полное, доказательство, гипотеза Римана.
§ 1
1.1. Пусть в прямоугольном треугольнике m=a+b, n=a. Тогда, = (a+b + =(a+b-N=(a+b), где N, a, b - целые положительные числа, включая 0.
1.1.1. Каждое зафиксированное N разлагаем на N+1 парных слагаемых: a=0 b=N; a=1 b=N-1; a=2 b=N-2; ….; a=N-1 b=1; a=N b=0, которые используем для вычисления последовательных значений и.
1.2. Докажем следующую теорему: «Каждое натуральное число является источником для получения всех соответствующих последовательных значений (хотя бы одного) из ряда всех простых чисел».
Для доказательства воспользуемся таблицей 1, выполненной в соответствии с п.1.1.:
Таблица 1.
Последовательных значений простых чисел (в том числе)
N |
a |
b |
= (a+b + |
=(a+b – |
1 |
0 |
1 |
(0+1+ |
(0+1-=1 |
|
1 |
0 |
(1+0 |
(1+0- =0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
2 |
1 |
1 |
5. |
3. |
|
2 |
0 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
13. |
5. |
|
3 |
0 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
1 |
3 |
17. |
|
4 |
2 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
|
7. |
|
4 |
0 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
5 |
2 |
3 |
29. |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
4 |
1 |
41. |
|
|
5 |
0 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
1 |
5 |
37. |
|
|
2 |
4 |
|
|
6 |
3 |
3 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
5 |
1 |
61. |
11. |
|
6 |
0 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
7 |
|
|
7 |
2 |
5 |
53. |
|
|
6 |
1 |
|
13. |
|
7 |
0 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|
|
3 |
5 |
73. |
|
8 |
5 |
3 |
89. |
|
|
7 |
1 |
113 |
|
|
8 |
0 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
|
|
9 |
4 |
5 |
97. |
|
|
8 |
1 |
|
17. |
|
9 |
0 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
1 |
|
|
1 |
9 |
101. |
|
10 |
3 |
7 |
109. |
|
|
7 |
3 |
141. |
|
|
9 |
1 |
181. |
19. |
|
10 |
0 |
2.1 |
|
…… и т.д. и т.п. до бесконечности |
Примечание:
1) цифры с точкой после них обозначают простые числа.
2) = f(N)- функция только от N и a.
1.2.1. Учитывая аддитивные свойства каждого натурального числа N и его взаимно многозначное соответствие в определенном диапазоне гипотенузам (а значит, и катетам) соответствующих прямоугольных треугольников, отметим, что между числами и 2 (таблица 1) найдется нечетное простое число (постулат Бертрана, доказанный в 1852 году П.Л. Чебышевым) (1),стр.58,67.
Нечетные простые числа всех соответствующих последовательных значений в каждом из диапазонов получаются из формул [1] и [2], что и требовалось доказать.
При этом дляи:
1) a и b - взаимно просты,
2) (a + b) и a – различной четности.
3) используются и другие необходимые (уже известные) признаки, методы и средства.
§ 2
2.1. Изобразим графически (не влияя на общность) только некоторые фрагменты из таблицы 1, изменив параметры прямоугольного треугольника: y + b=N- последовательные целые положительные числа, включая 0; x, 0 z= [3]. При этом =.
2.1.1. Поясним и разовьем вышеизложенное применительно к каждому N= +b, , зафиксированному в декартовой (прямоугольной и прямолинейной) системе координат XOY. = =tg .
Если эта дробь абсолютно взаимно проста, то- последовательные
простые числа (не обязательно одновременно). Здесь, N= ; a=1, == N-1; используются последовательные натуральные числа, включая 1.
Например: ( + не абсолютно взаимно проста (сумма заканчивается 5), а - наоборот (+=53 - простое число); , =97 - простое число; ,+=85=5.17.
Уравнение [ дает необходимые рациональные значения чисел на гипотенузах; дает ограниченную непрерывную кривую - соответствующее геометрическое место точек для гипотенуз соответствующих прямоугольных треугольников, проходя через каждую из которых, они принимают минимальные значения (см. следствие при с =), являющиеся при определенных условиях последовательными значениями простых чисел - точки пересечения равнобочной гиперболы с окружностями, соответствующими последовательным значениям их радиусов, в рациональных точках на поверхности (изогипсами) соответствующего кругового конуса для каждого N - значение длины хорды, перпендикулярной к действительной оси этой гиперболы.
2.1.2. Примеры (соответственно тангенсы и простые числа):
, +=5 -=3; , +; -=5; ,=17; , -=7; , =29; , +=37, ,+=61 =11; , +, , -=13; ,=73; , + ; , +=113; ,+=97, , -=17; ,
=101,, +=109, , +=149; , +,
,=41, и т.д. и т.п.
2.1.2.1. Вариант, когда к N прибавляется n - произвольное целое положительное число.
1) = ; =( N-1).=(/N-1). ; =1;…,= ; =(N+n-1) ; =1.
2)= ; ).=(N-2)=; =(N+n-2) ; .
…., …,N -1) =;=;
==1.;
2.1.3. Как пример: +)=+1); .3907=..3907; +1= .3907; =.3907; 3907 - простое число.
§3
3.1. Графическое изображение некоторых фрагментов таблицы 1:
Число соединений простых чисел по два, например, равно числу сочетаний простых чисел = (только для z), где ! - число соединений простых чисел по два для каждого N. Например, на трех последних вышеприведенных рисунках показаны соединения по два из 2-х, 3-х, 4-х точек; соответствующие им сочетания равны 1,3,6.
Выше приведены квадраты гипотенуз.
3.1.1. Полное доказательство гипотезы Римана (1-е опубликовано в (6)).
a) Рассмотрим в целочисленном варианте (тоже самое и для действительного варианта) один из фрагментов вышеизложенного: N=5 в произвольном масштабе, одинаковом для X и Y. (Рис.1, Рис.2).
В нашем случае направление выбрано положительным.
Пусть =1,2,3,…, N-1. i , N- действительное число, в частности, целое положительное (Рис.2).
=. ; = ; =N- ; =N- ; AB=| ; =| ; =|; AC= = ; BC=MC- AB; AC=MC+ AB; или = (2AC- AB) + AB;
(2AC-AB)-AB. В выбранном масштабе, разделив на 2АС-АВ, или наоборот - на AB, получим:
1) b= и = +b; -b,[4]. или 2), изменив b. [T].
Таким образом, координаты произвольных двух точек в декартовой (прямоугольной и прямолинейной) системе XOY можно привести к виду [ T ] с помощью вышеизложенного алгоритма. Представление в таком виде зависит от выбранного масштаба: ; . [5]
Начало новых координат помещено в нашем случае в точке C=.
Координатная ось в этом случае повернется на угол по часовой стрелке.
Буквами A, B, C, D, M обозначены концы отрезков, а AB, AC, AD, MA= MB - их длины.
3.1.1.1. Пример: Пусть N=5; i=2;j=4;=2;=4;=2.=;=4.=;
;=4.
AB=|-+(2-4 = ; AB= ; tg=||=;AC=; b= -13.
В приведенном виде =+(-13)= = - (-13)=; =;
3.1.1.2. В комплексном варианте XOI (I= ) следует учитывать правило сложения векторов, выходящих из начала координат, где f и X - действительные числа; например, z=X +f. ; учитывая вышеизложенное и используя [5], получим в итоге [4] , где b=f.
Примечание:
Доказательство гипотезы Римана выполнено на примере корней квадратных из простых чисел, но не имеет к ним никакого отношения (просто использован уже готовый материал). Можно было просто использовать координаты двух произвольных точек. А что будет после этого?
Решение, конечно, является очень простым. Выберем на плоскости две произвольные точки A и B, расстояние между которыми |AB|. Поместим их в
произвольную систему координат XOY и продолжим AB в обе стороны до точки C оси X и до оси Y, определив затем их координаты x и y. Обратная процедура даст вышеизложенное решение (п.3.1.1.).
§ 4
4.1. Напишем тождества (5), которые позволят избавиться от корня квадратного, в частности, в z. При этом только следует учесть, что x и y меняются местами! Если += ,то
-(2xy=(-2=(- 2 [4] , x=2, y=1, z= ,
-(2.1.2= [ (-2.=[( , 25-16=(5-2=(5-8=.
+(2yz=( [5], .2.=(-9.
[3]+(2xz=( [6] , +(2.1.=[-2((-6.
4.2. Приведем один из явных доказательных вариантов этого свойства:
+ = =
=(m+n += 2+2mn+ =(2m+n+=2(2+2mn+)=2
- =(m+n- =n(2m+n) =(2m+n- [6]
=2m(m+n)= =2[(m+n-]=2n(2m+n)=2 ,
m и n - произвольные числа.
Есть, конечно, и другие варианты, например, ( 2 )
4.2.1. Из п.4.2. +-+1=4mn+1.При m=a+1 n=a +-+1=(2a+1, где a=0,1,2,3,….. . 1+4(x+y-z)=(2а+1.
z -ниже только простые числа для всех а.
Но для некоторых а z может быть и составным.
1+4(1+0-1)= 1+4(3+4-5)= 1+4(15+8-17)=
1+4(45+28-53)= 1+4(39+80-89)= 1+4(255+32-257)=
1+4(91+60-109)= 1+4(105+88-137)=
1+4( 1 +4 (115+252-277)= 1+4(231+160-281)= ….., и т.д. и т.п. Ниже z – только составные.
1+4(24+7-25)= 1+4(13+84-85)= 1+4(153+104-185)= 1+4(135+352-377)= и т.п. 377=13.29.
§ 5
5.1. Следует обратить внимание, в частности, на формулы для нахождения для этих формул бесчисленного множества всех соответствующих последовательных значений только простых чисел, (2n+ [7], где (n, - взаимно просты, m, n – последовательные значения натуральных чисел, включая единицу, - последовательные значения нечетных простых чисел.
. Например, 2n+ .
5.1.1. Пример для (2n + [8], (n,),когда n заканчивается 0 или 5: |
1649=17.97 |
4469=41.109 |
9089=61.149 |
+=641 |
1781=13.137 |
4721 |
9461 |
+=661 |
1921=17.113 |
4981=17.293 |
9841=13.757 |
+=689=13.53 |
2069 |
5249=29.181 |
10229=53.193 |
769 |
2389 |
5809=37.157 |
11029=41.269 |
821 |
2561=13.197 |
6101 |
11441=17.673
|
881 |
2741 |
6401=37.173 |
11861=29.409 |
949=13.73 |
2929=29.101 |
6709 |
12289 |
1109 |
3329 |
7349 |
13169=13.1013 |
1201 |
3541 |
7681 |
13621=53.257 |
1301 |
3761 |
8021=13.617 |
14081 |
1409 |
3989 |
8369 |
14549 |
|
|
|
|
15509=13.193 |
23729=61.389 |
33749 |
45569
|
16001 |
24341=101.241 |
34481=2.41 |
46421=61.761
|
16501=29.569 |
24961=109.229 |
35221 |
47281=13.3637 |
17009=73.233 |
25589 |
35969 |
48149=89.541 |
18049 |
26869=97.277 |
37489 |
49909=29.1721 |
18581=17.1093 |
27521=13.29.73 |
38261 |
50801=37.1373 |
19121 |
28181 |
39041 |
51701=13.41.97 |
19669=13.17.89 |
28849=17.1697 |
39829 |
52609 |
20789 |
30209=17.1777 |
41429=17.2437 |
54449 |
21361=41.521 |
30901=13.2377 |
42241=53.797 |
55381 |
21941=37.593 |
31601 |
43061=1.149 |
58321 |
22529=13.1733 |
32309 |
43889 |
57269 |
|
|
|
|
59189=13.29.157 |
60161 |
61141 |
62129 |
64129=13.4933 |
и т.д. и т.п. .т.п..бескогнчности |
|
|
5.1.2. Основная группа состоит только из простых чисел, не пересекающаяся со второй, состоящей из парных произведений только простых чисел, причем больший из сомножителей на втором из мест не повторяется в рамках этого примера.
Таким образом, вычеркнув очевидные тривиальные строчки составных чисел (0 и 5 в конце), полученных по формуле [8], увидим, что из 101 приведенных значений, полученных по той же формуле, только 6 флуктуаций (по три сомножителя), а в остальных 95 случаях - только простые числа без повторений в соответствии с предшествующим абзацем. (4)
5.1.3.+=15629,+=15641, +=15661,+=15689=29.541- все простые числа.
§ 6
6.1. Следствие: «Два пункта A и B, разделенных рекой шириной d, находятся от нее на расстоянии соответственно a и b. Расстояние между ними по направлению, параллельному реке, равно c. Где построить мост через реку, чтобы расстояние между ними через мост было минимальным».
Доказательство
1) b a=AG=ET, b=BR=DT, MN=d, MD||NB, MD=NB.
Прямая AD является минимальным расстоянием между точками A и Д. И мост должен проходить через точку M ( MN || GT) – точку пересечения GT и AD .
Действительно, AD и AD точки на прямой GT,что и требовалось доказать (длина моста постоянна).
Отсюда, AM+MN+NB – кратчайшее расстояние между пунктами A и B через мост.
A = (a + b + [ 9 ] . AD = (AM + NB) = – не зависит от d.
2) b .Формула [ 9] остается той же самой. AM+MN+NB
Список литературы:
- В.Боро и др. «Живые числа», Москва МИР, 1985, стр.58,67.
- В.Литцман, Теорема Пифагора»,§6, стр.70-82, Физматгиз, Москва, 1960.
- А.Г.Курош, «Курс высшей алгебры», Физматгиз, Москва, 1981.
- В.Серпинский Что мы знаем и чего не знаем о простых числах», Физматгиз, Москва.1963.Ленинград.
- Р.Тинт «Новые типы пифагоровых уравнений и вытекающие отсюда следствия», «Интернаука», Научный журнал, ч.1,№ 24(153),Москва,2020.
- Р.Тинт, «Вариант доказательства гипотезы Римана в другой формулировке», «Интернаука», Научный журнал, ч.1,№18(194), Москва,2021.