ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ ПЕРЕХОДНЫХ СОСТОЯНИЙ

ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ ПЕРЕХОДНЫХ СОСТОЯНИЙ

Убайдуллаева Шахноза Рахимджановна

канд. техн. наук, доц., Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства,

Узбекистан, г. Ташкент

Музаффарова Гавхар Ильхомовна

студент, Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации  сельского хозяйства,

Узбекистан, г. Ташкент

DESCRIPTION OF A LINEAR STATIONARY SYSTEM WITH A DELAY USING TRANSITION GRAPHS

Shakhnoza Ubaydullayeva

Candidate of technical sciences, associate Professor,

Tashkent institute of irrigation and

 agricultural mechanization engineers, Uzbekistan, Tashkent

Muzaffarova Gavkhar

Student,

Tashkent institute of irrigation and

 agricultural mechanization engineers, Uzbekistan, Tashkent

АННОТАЦИЯ

Решение уравнения состояния линейной стационарной системы с постоянным запаздыванием можно получить с использованием аппарата теории графов, являющегося мощным средством исследования различных классов структурно- сложных систем. Для рассматриваемого класса систем были использованы графы переходных состояний.

Ключевые слова: линейная система с постоянным запаздыванием, граф переходных состояний, запаздывание в цепи обратной связи. 

Линейную стационарною систему n – го порядка запаздыванием в цепи обратной связи можно описать дифференциальным уравнением n-го порядка в виде

     (1.1)

где   b –постоянны.

Поставим задачу отыскания выходного сигнала системы для всех моментов времени В момент времени на вход системы подается воздействие u(t). Если в этом уравнении b=0, то получим обыкновенное дифференциальное уравнение:

               (1.2)

Известно, что для системы, описываемой уравнением (1.2) можно задать n независимых начальных условий, которые единственным образом определяют выходную функцию для заданной входной функции. Эту совокупность переменных можно квалифицировать как состояние в момент отсюда выводится следующая простая зависимость переменных состояния от выходной функции:        …,   ,

Из изложенного выше запишем уравнения состояния в стандартной форме

                                     (1.13)

                                (1.4)   

где  – матрица коэффициентов,  - матрица управления, C - матрица выхода,  – матрица обхода системы. Если образовать вектор состояния системы увеличенной размерности

 ,                                            (1.5)

то в этом случае линейная стационарная система может быть описана уравнением  

,                                          (1.6)

где  - матрица коэффициентов,  -вектор-столбец, включающий входную переменную и координаты системы. Применяя прямое преобразование Лапласа к уравнению (1.6) получим

                          (1.7)

где  – единичная матрица.

Обозначая

                              (1.8)

будем иметь 

                                       (1.9)

Матрица (t) известна как расширенная матрица перехода системы. Уравнение (1.1) можно записать в следующей векторно- матричной форме

                               (1.10)

Если заданы начальные условия и начальная функция (t) = определенная на начальном множестве , то, применяя прямое преобразование Лапласа к уравнению (1.10), на отрезке  будем иметь:

(1.11)

Функция, которую можно получить из уравнения (1.11), является начальной функцией (p).   Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению (1.11), получаем

                                   (1.12)

Уравнение (1.12) описывает поведение системы на отрезке времени  Используя это решение, для отрезка  аналогично получим

Откуда

(1.13)

Выполняя последовательно этот процесс, можно найти решение для любого интересующего нас интервала времени

.              (1.14)

Откуда

(1.15),

где  .....

Итак, уравнение состояния линейной стационарной системы с постоянным запаздыванием может быть записано в векторной форме и решено с использованием преобразования Лапласа. Из этого следует, что решение мы можем получить и с использованием аппарата теории графов, являющегося мощным средством исследования различных классов структурно- сложных систем. Для рассматриваемого класса систем целесообразным является применение графов переходных состояний.

Определение: Графом переходного состояния назовем ориентированный взвешенный граф, полученный по схеме системы в переменных состояния, с вершинами, являющимся компонентами вектора состояния] и вектора начального состояния  ] с передачами дуг, равными коэффициентам расширенной матрицы перехода Ф(λ).

                     (1.16)

Аргумент λ в Ф(λ) при анализе непрерывных систем равен t, а в случае дискретных систем λ = t - nT для  . Если заданы начальные условия и известна матрица Ф(λ), то можно легко найти функции времени, описывающие изменение переменных состояния. Матрица перехода может быть определена из соотношений:

,                                                         (1.17),

                                       (1.18).

Но вычисление элементов матрицы Ф(λ) можно непосредственно выполнить по графам переходных состояний (ГПС). Вычисляя по графу передачи между соответствующими узлами, применяя обратное преобразование Лапласа, мы, тем самым, определяем элементы  матрицы Ф(λ), минуя выполнение трудоемких операций, согласно (1.17) или (1.18).

Для иллюстрации рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением   где  Требуется построить граф переходных состояний и определить матрицу перехода Ф(t).

1.Перейдем к системе уравнений 1-го порядка:      ,  , где  . В матричной форме полученную систему уравнений можно записать в виде

 =          

2.Схема в переменных состояния и граф переходных состояний даны соответственно на рис.1. и на рис.2.

3.Определяем вектор 

 =    

Элемент (t) искомой матрицы перехода Ф(t) определяются следующим образом. По ГПС, пользуясь правилом Мезона определяем  как передачи между узлами i,j, т.е. . Матрицу Ф(t) получим, если применим к каждому элементу  обратное преобразование Лапласа.

Из рассмотрения графа имеем

;

Рисунок 1.  Схема в переменных состояния системы

Рисунок 2. Граф переходных состояний системы

Выполнив обратно преобразование Лапласа, будем иметь

отсюда

Список литературы:

1. S. R. Ubaydullayeva, R. T. Gaziyeva and O. J. Pirimov, "Graph Models and Algorithm for Studying the Dynamics of a Linear Stationary System with Variable Delay," 2021 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), 2021, pp. 431-436, doi: 10.1109/RusAutoCon52004.2021.9537328.

2. S. R. Ubaydulayeva and A. M. Nigmatov, "Development of a Graph Model and Algorithm to Analyze the Dynamics of a Linear System with Delay," 2020 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), Sochi, Russia, 2020, pp. 1-6, doi: 10.1109/ICIEAM48468.2020.9111939.

3. S. R. Ubaydullayeva, D. R. Kadirova and D. R. Ubaydullayeva, "Graph Modeling and Automated Control of Complex Irrigation Systems," 2020 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russia, 2020, pp. 464-469, doi: 10.1109/RusAutoCon49822.2020.9208076.