МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Убайдуллаева Шахноза Рахимджановна

канд. техн. наук, доц., Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации  сельского хозяйства,

Узбекистан, г.Ташкент

MODELING MULTI-DIMENSIONAL LINEAR CONTINUOUS DELAYED SYSTEMS

Shakhnoza Ubaydullayeva

Candidate of technical sciences, associate Professor, Tashkent institute of irrigation and agricultural mechanization engineers,

Uzbekistan, Tashkent

АННОТАЦИЯ

Метод динамических графовых моделей позволяет эффективно проводить анализ как одномерных, так и многомерных линейных непрерывных систем с запаздыванием. В работе разработаны топологическая модель и алгоритм исследования динамики многомерных линейных систем с постоянным запаздыванием.

Ключевые слова: многомерная линейная система с постоянным запаздыванием, запаздывание по состоянию, графовая модель.

Уравнение состояния многомерной линейной непрерывной системы с переменным запаздыванием имеет вид

          ,        (1.1)

где X(t) – вектор состояния системы, U(t) – вектор входных воздействий, Y(t) – вектор выходных величин.

Обобщение уравнения (1.1) на случай, когда имеется k векторов с различными запаздыванием, может быть сделано следующим образом. Введем вектор

                                         (1.3)

где  –запаздывание, различное для каждого из векторов и матрицы

где индекс над буквой с указывает на принадлежность этого элемента данной матрице. Тогда уравнение (1.1) можно записать в следующим виде:

                   (1.4)

Для отыскания решения уравнения (1.1) необходима задать n начальных функций , которые удобно записать в виде матрицы столбца

На основании свойств начальной функции должны иметь место равенства

Многомерная система сохраняет все основные черты одномерных структур. Но задача исследования многомерных систем усложняется тем, что к влиянию запаздываний добавляется взаимосвязи по входам и выходам. В этом отношении целесообразным является использование графовых моделей, являющихся наиболее удобным способом представления всех взаимосвязей по многочисленным каналам управления.

Для большей наглядности рассмотрение начнем с двумерной системы с запаздыванием по состоянию, а затем сделаем обобщение на n-мерный случай. В соответствии со свойствам систем с запаздыванием в момент времени  на входе системы начнут действовать два сигнала – входное воздействие  и начальная функция . Для каждого сепаратного канала действие начальной функции завершается в некоторые моменты времени  и : действие входного сигнала W(t) продолжается на всем промежутке с учетом этих физических особенностей. Модель двумерного объекта управления получается объединением моделей двух сепаратных и двух перекрестных каналов передач:

            ,                               (1.5)

где - модели сепаратных каналов передачи сигналов;

здесь:

 ;

r=1,2;   m=1,2 …. n; i=1,2,…,n;   l=1,2, …,n.

Графовые модели перекрестных каналов.

                          (1.6)

Здесь

где  , i=1,2, …. n;   l=1,2, …,n.

С учетом этих обозначений  ;  

Графовые модели запаздывающих сигналов определим в виде

 где  – узел (вершина), моделирующий запаздывающий сигнал, взвешен изображением по Лапласу запаздывающего сигнала, представлен отрезком непрерывной функции. – изображение по Лапласу сигнала ошибки в r-м канале передачи;

Модели входных сигналов строятся аналогично моделям непрерывного объекта управления. Если в системе имеет место запаздывание управляющих сигналов, то в этом случае графовые модели запаздывающих сигналов определяются в виде    где

,

С учетом изложенного можно сформулировать следующий алгоритм построения графовой модели и исследования динамики для многомерных процессов с запаздываниями.

Алгоритм.

1. Величины запаздываний упорядочиваются в порядке возрастания их значений:

2. Строятся графовые модели отдельных элементов системы: модели входных сигналов, модели запаздывающих сигналов, модель непрерывного объекта управления.

3. Полученные графы объединяются в общую топологическую модель системы с учетом интервала наблюдения системы на оси .

a)  – при запаздывании по состоянию.

b)  – при запаздывании по управлению.

4. В соответствии с моментами времени  по полученному графу составляются соотношения для определения переменных состояния и координат выхода системы

          (1.7)

τ

Пример. Определить промежуточные и выходные координаты системы, структурная схема которой изображена на рис.1. Запаздывания в сепаратных каналах равны  . Начальные условия – нулевые, начальные функции  также предполагаются нулевыми.

Решение: Так как от шага к шагу в системе происходит смена одинаковых структурных состояний, то можно построить графовую модель системы (рис.2) для отрезка [iτ, (i+1) τ], i=0, 1….  

На отрезке  для переменных состояния и выходных координат имеем , ; откуда имеем

, , ; .

; .

Рисунок 1. Структурная схема двумерной САУ  Рисунок 2. Графовая модель двумерной САУ

На отрезке [τ, 2τ],   непрерывные сигналы  и  уже начинают воздействовать на выходы соответствующих каналов системы. Из рассмотрения графа видно, что

 ,,, ,, , , .

Для всех последующих шагов вычисления производим по представленному выше алгоритму.

Список литературы:

1. S. R. Ubaydullayeva, R. T. Gaziyeva and O. J. Pirimov, "Graph Models and Algorithm for Studying the Dynamics of a Linear Stationary System with Variable Delay," 2021 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), 2021, pp. 431-436, doi: 10.1109/RusAutoCon52004.2021.9537328.
2. S. R. Ubaydulayeva and A. M. Nigmatov, "Development of a Graph Model and Algorithm to Analyze the Dynamics of a Linear System with Delay," 2020 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), Sochi, Russia, 2020, pp. 1-6, doi: 10.1109/ICIEAM48468.2020.9111939.
3. S. R. Ubaydullayeva, D. R. Kadirova and D. R. Ubaydullayeva, "Graph Modeling and Automated Control of Complex Irrigation Systems," 2020 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russia, 2020, pp. 464-469, doi: 10.1109/RusAutoCon49822.2020.9208076.