АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПОСОБА НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ РИМАНА – ОДНОЙ ИЗ 7 ПРОБЛЕМ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ (ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АСПЕКТ)

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПОСОБА НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ РИМАНА – ОДНОЙ ИЗ 7 ПРОБЛЕМ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ (ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АСПЕКТ)

Реувен Тинт

числовой теоретик,

Израиль, г. Нешер

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе доказана теорема о том, что каждое натуральное число является источником для получения всех соответствующих последовательных значений простых чисел.

Приведена ограниченная непрерывная кривая - соответствующее геометрическое место точек для гипотенуз прямоугольных треугольников, проходя через каждую из которых они принимают минимальные значения, являющиеся при определенных условиях последовательными значениями соответствующих простых чисел.

В работе также приведены некоторые следствия и полное доказательство гипотезы Римана с примерами - решена одна из 7 проблем тысячелетия.

В заключение получены и приведены ряд формул для нахождения всех соответствующих последовательных значений простых чисел (бесчисленного множества).

Ключевые слова: простые, числа, полное, доказательство, гипотеза Римана.

§ 1

1.1.       Пусть в прямоугольном треугольнике m=a+b, n=a. Тогда,  = (a+b +   =(a+b-N=(a+b), где N, a, b - целые положительные числа, включая 0, при этом а = .

1.1.1. Каждое зафиксированное N разлагаем на N+1 парных слагаемых: a=0 b=N; a=1 b=N-1; a=2 b=N-2; ….; a=N-1 b=1; a=N b=0, которые используем для вычисления последовательных значений и.

1.2. Докажем следующую теорему: «Каждое натуральное число является источником для получения всех соответствующих последовательных значений (хотя бы одного) из ряда всех простых чисел.» Для доказательства воспользуемся таблицей 1, выполненной в соответствии с п.1.1.:

Таблица 1.

Последовательных значений простых чисел (в том числе)

Примечание:

1) цифры с точкой после них обозначают простые числа.

2)  = f(N)- функция только от N и a.

1.2.1. Учитывая аддитивные свойства каждого натурального числа N и его взаимно многозначное соответствие в определенном диапазоне гипотенузам (а значит, и катетам) соответствующих прямоугольных треугольников, отметим, что между числами  и 2 (таблица 1) найдется нечетное простое число (постулат Бертрана, доказанный в 1852 году П.Л. Чебышевым) (1),стр.58,67.

Нечетные простые числа всех соответствующих последовательных значений в каждом из диапазонов получаются из формул [1] и [2], что и требовалось доказать.

При этом дляи:

1) a и b - взаимно просты,

2) (a + b) и a – различной четности.

3) используются и другие необходимые (уже известные) признаки, методы и средства: (7) и др.

§ 2

2.1. Изобразим графически (не влияя на общность) только некоторые фрагменты из таблицы 1, изменив параметры прямоугольного треугольника: y  + b=N- последовательные целые положительные числа, включая 0; x,  0 z= [3]. При этом =.

2.1.1. Поясним и разовьем вышеизложенное применительно к каждому N= +b,  , зафиксированному в декартовой (прямоугольной и прямолинейной) системе координат XOY.    =       =tg .

Если эта дробь абсолютно взаимно проста, то- последовательные простые числа (не обязательно одновременно). Здесь, N= ; a=1, == N-1; используются последовательные натуральные числа, включая 1.

Например: (  +   не абсолютно взаимно проста (сумма заканчивается 5), а     - наоборот (+=53 - простое число);  ,=97 - простое число;  ,+=85=5.17.

Уравнение [ дает необходимые рациональные значения чисел на гипотенузах; дает ограниченную непрерывную кривую - соответствующее геометрическое место точек для гипотенуз соответствующих прямоугольных треугольников, проходя через каждую из которых, они принимают минимальные значения (см. следствие при с =), являющиеся при определенных условиях последовательными значениями простых чисел - точки пересечения равнобочной гиперболы с окружностями, соответствующими  последовательным значениям их радиусов, в рациональных точках на поверхности (изогипсами) соответствующего  кругового конуса для каждого N - значение длины хорды, перпендикулярной к действительной оси этой гиперболы.

2.1.2. Примеры (соответственно тангенсы и простые числа):

  , +=5   -=3; , +; -=5;  ,=17;  , -=7; , =29;  , +=37, ,+=61 =11;  , +,  , -=13;  ,=73;  , + ;  , +=113; ,+=97,  , -=17; ,

=101,, +=109, , +=149; , +,

 ,=41, и т.д. и т.п.

2.1.2.1. Вариант, когда к N прибавляется n - произвольное целое положительное число.

1) = ;   =( N-1).=(/N-1). ; =1;…,= ; =(N+n-1) ; =1.

2)= ;    ).=(N-2)=; =(N+n-2) ; .

…., …,N -1) =;=;

==1.;  

2.1.3. Как пример: +)=+1);  .3907=..3907;  +1= .3907; =.3907; 3907 - простое число.
 

§3

3.1. Графическое изображение некоторых фрагментов таблицы 1:       

Число соединений простых чисел  по два, например, равно числу сочетаний простых чисел   =  (только для z), где  ! - число соединений простых чисел по два для каждого N. Например, на трех последних вышеприведенных рисунках показаны соединения по два из 2-х, 3-х, 4-х точек; соответствующие им сочетания равны 1,3,6.

Выше приведены квадраты гипотенуз.

3.1.1. Полное доказательство гипотезы Римана (1-е опубликовано в (6)).

Рассмотрим в целочисленном варианте (тоже самое и для действительного варианта) один из фрагментов вышеизложенного: N=5 в произвольном масштабе, одинаковом для X и Y. (Рис.1, Рис.2).

В нашем случае направление  выбрано положительным.

Пусть =1,2,3,…, N-1. i , N- действительное число, в частности, целое положительное  (Рис.2).    

=. ; = ; =N- ; =N- ;  AB=|   ; =|  ; =|; AC= = ; BC=MC- AB; AC=MC+ AB; или = (2AC- AB) + AB;  (2AC-AB)-AB. В выбранном масштабе, разделив на 2АС-АВ, или наоборот - на AB, получим:

1)   b=   и     =  +b;    -b,[4]. или 2), изменив b. [T].

Таким образом, координаты произвольных двух точек в декартовой (прямоугольной и прямолинейной) системе XOY можно привести к виду [ T ] с помощью вышеизложенного алгоритма. Представление в таком виде зависит от выбранного масштаба:  ;  . [5]

Начало новых координат помещено в нашем случае в точке C=.

Координатная ось в этом случае повернется на угол по часовой стрелке.

Буквами A, B, C, D, M обозначены концы отрезков, а AB, AC, AD, MA= MB - их длины.

3.1.1.1. Пример: Пусть N=5; i=2;j=4;=2;=4;=2.=;=4.=;
;=4.

AB=||  ; AB= ; tg=||=;AC=;  b=-13.

В приведенном виде  =+(-13)= =  - (-13)=; =;

3.1.1.2. В комплексном варианте XOI (I= ) следует учитывать правило сложения векторов, выходящих из начала координат, где f и X - действительные числа; например, z=X +f. ; учитывая вышеизложенное и используя [5], получим в итоге [4] , где b=f.

Примечание:

Доказательство гипотезы Римана выполнено на примере корней квадратных из простых чисел (просто использован уже готовый материал). Можно было просто использовать координаты двух произвольных точек.

Выберем на плоскости две произвольные точки A и B, расстояние между которыми |AB|. Поместим их в произвольную систему координат XOY и продолжим AB в обе стороны до точки C оси X и до оси Y, определив затем их координаты x и y. Обратная процедура даст вышеизложенное решение (п.3.1.1.). Вообще, поскольку b=f(AB, AC), выбрав произвольно AB, а затем на продолжении AB произвольно точку С ,получим [4]. Отсюда, если принять AB=a, BC=в, AC=AB+BC=N, получим (a+в    , зафиксировав N и изменяя а, что при определенных условиях (§§1и 2) дает все последовательные значения простых чисел.

§ 4

4.1. Напишем тождества (5), которые позволят избавиться от корня квадратного, в частности, в z. При этом только следует учесть, что x и y меняются местами! Если += ,то

-(2xy=(-2=(- 2, x=2,  y=1,  z= ,

-(2.1.2= [ (-2.=[( , 25-16=(5-2=(5-8=.

+(2yz=(,  .2.=(-9.

  [3]+(2xz=(,  +(2.1.=[-2((-6.

4.2. Приведем один из явных доказательных вариантов этого свойства:

             + =                     [6]                     =

=(m+n += 2+2mn+      =(2m+n+=2(2+2mn+)=2

=(m+n- =n(2m+n)                =(2m+n- 

=2m(m+n)=               =2[(m+n-]=2n(2m+n)=2 ,

m  и   n - произвольные числа.

Есть, конечно, и другие варианты, например,  ( 2 )

4.2.1. Из п.4.2. +-+1=4mn+1.При m=a+1    n=a   +-+1=(2a+1, где a=0,1,2,3,….. . 1+4(x+y-z)=(2а+1.

Ниже z- только простые числа для всех а.

Но для некоторых а z может быть и составным.

1+4(1+0-1)=   1+4(3+4-5)=   1+4(15+8-17)=

1+4(45+28-53)=  1+4(39+80-89)=   1+4(255+32-257)=

1+4(91+60-109)= 1+4(105+88-137)=

1+4(  1 +4 (115+252-277)= 1+4(231+160-281)= ….., и т.д. и т.п.  Ниже z – только составные.

1+4(24+7-25)=  1+4(13+84-85)=  1+4(153+104-185)=  1+4(135+352-377)= и т.п. 377=13.29.

§ 5

5.1. Следует обратить внимание, в частности, на формулы для нахождения для этих формул бесчисленного множества всех соответствующих последовательных значений только простых чисел, (2n+  [7], где (n,  - взаимно просты, m, n – последовательные значения натуральных чисел, включая единицу,  - последовательные значения нечетных простых чисел.

. Например, 2n+ .

Таблица 2.

5.1.1. Пример для (2n +   [8], (n,), когда n заканчивается 0 или 5:

5.1.2. Основная группа состоит только из простых чисел, не пересекающаяся со второй, состоящей из парных произведений только простых чисел, причем больший из сомножителей на втором из мест не повторяется в рамках этого примера.

Таким образом, вычеркнув очевидные тривиальные строчки составных чисел (0 и 5 в конце), полученных по формуле [8], увидим, что из 101 приведенных значений, полученных по той же формуле, только 6 флуктуаций (по три сомножителя), а в остальных 95 случаях - только простые числа без повторений в соответствии с предшествующим абзацем. (4)

5.1.3.+=15629,+=15641, +=15661,+=15689=29.541- все простые числа.

§ 6

6.1. Следствие: «Два пункта A и   B, разделенных рекой шириной d, находятся от нее на расстоянии соответственно a и b. Расстояние между ними по направлению, параллельному реке, равно c. Где построить мост через реку, чтобы расстояние между ними через мост было минимальным».

Доказательство

1) b      a=AG=ET, b=BR=DT, MN=d, MD||NB, MD=NB.

Прямая AD является минимальным расстоянием между точками A и Д. И мост должен проходить через точку M ( MN || GT) – точку пересечения GT  и  AD .

Действительно, AD и AD точки на прямой GT,что и требовалось  доказать (длина моста постоянна).

Отсюда, AM+MN+NB – кратчайшее расстояние между пунктами A и B через мост.

A = (a + b +  [ 9 ] . AD = (AM + NB) =  – не зависит от d.

2) b .Формула [ 9] остается той же самой. AM+MN+NB

Список литературы:

1. В.Боро и др. «Живые числа», Москва, «МИР», 1985, стр.58,67.
2. В.Литцман «Теорема Пифагора», §6, стр.70-82, Физматгиз, Москва, 1960.
3. А.Г.Курош, «Курс высшей алгебры», Физматгиз, Москва, 1981.
4. В.Серпинский, «Что мы знаем и чего не знаем о простых числах», Физматгиз, Москва.1963. Ленинград.
5. Р.Тинт, «Новые типы пифагоровых уравнений и вытекающие отсюда следствия», «Интернаука», научный журнал, № 24(153), ч.1 , Москва,2020.
6. Р.Тинт, «Вариант доказательства гипотезы Римана в другой формулировке», «Интернаука», научный журнал, №18(194), ч.1, Москва, май 2021.
7. Р.Тинт, «Аналитический метод получения всех последовательных значений простых чисел» (элементарный аспект),» «Интернаука», научный журнал, №3(179), ч.1, Москва, январь 2021.