НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШАЕМЫХ НЕСТАНДАРТНЫМИ СПОСОБАМИ

НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШАЕМЫХ НЕСТАНДАРТНЫМИ СПОСОБАМИ

Сафаров Журабек Шакарович

доц., Ташкентский университета информационных технологий имени Мухаммада аль-Хоразмий,

Узбекистан, г. Ташкент

Рахматова Зохида Азаматовна

ассистент Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада аль-Хоразмий,

Узбекистан, г. Ташкент

SOME EXAMPLES OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS SOLVED IN NON-STANDARD WAYS

Jurabek Safarov

associate Professor, Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorazmiy,

Uzbekistan, Tashkent

Zohida Rakhmatova

assistant, Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorazmiy,

Uzbekistan, Tashkent

АННОТАЦИЯ

Обыкновенные дифференциальные уравнения обычно решаются стандартными подстановками и методами. В данной статье исследуется некоторые дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений, при решения которых используются нестандартные способы.

ABSTRACT

Ordinary differential equations are usually solved by standard substitutions and methods. This article examines some differential equations and systems of differential equations, which are solved using non-standard methods.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, квадратное уравнение, система уравнений.

Keywords: differential equation, quadratic equation, system of equations.

Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями. Предметом изучения в теории дифференциальных уравнений являются методы решения и исследования дифференциальных уравнений и их систем.

Дифференциальные уравнения возникли при рассмотрении отдельных конкретных задач в работах Декарта, Галилея, Барроу (учитель Ньютона), Ферма, Кеплера в XVII веке. В то время понятие производной еще не было введено, как и сам термин «дифференциальное уравнение». История дифференциальных уравнений как самостоятельного раздела математики началась с работ Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница, основателей дифференциального и интегрального исчисления. Сам термин «дифференциальное уравнение» введен Лейбницем. Он также ввел некоторые поныне используемые обозначения. Существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений внесли братья Якоб и Иоганн Бернулли (ученики Лейбница), потомки Иоганна Бернулли (особенно Даниил), Леонард Эйлер (ученик Иоганна Бернулли), Лагранж, Лиувилль, Коши и другие известные математики.

К составлению и решению дифференциальных уравнений приводят многочисленные задачи как самой математики, так и других наук – физики, химии, техники, биологии, экономики. Математические модели многих реальных динамических объектов и систем управления представляют собой дифференциальные уравнения или их системы, поэтому теория дифференциальных уравнений является основой математического моделирования и теории автоматического управления.

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений – большая математическая наука. Большой вклад к развитию дифференциальных уравнений внесли также знаменитые математики Д'Аламбер (1717 - 1783), Эйлер (1707 - 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранж (1736 - 1813), Лаплас (1749 - 1827), Пуассон (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и другие ученые. Интересно то, что многие из них были не только математиками, но и астрономами, механиками, физиками. Разработанные ими при исследовании конкретных задач математической физики идеи и методы оказались применимыми к изучению широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории дифференциальных уравнений. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений объединяет: общую теорию дифференциальных уравнений, качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию динамических систем, приближенные методы (асимптотические, численные), а также аналитическую теорию дифференциальных уравнений в комплексной области. Она накопила множество понятий, результатов, приемов и методов исследования дифференциальных уравнений. Исаак Ньютон считал главным своим открытием теорию дифференциальных уравнений. Последующие триста с лишним лет убедительно доказали эффективность этой теории. По ряду причин, сегодня на изучение обыкновенных дифференциальных уравнений во многих технических вузах отводится, к сожалению, немного времени. Многие годы в экономических и технических вузах дифференциальные уравнения были представлены, как правило, несколькими темами в курсах высшей  математики,  либо математического анализа. Как поступить в сложившиеся ситуации: чему учить и как учить, если в учебной программе предусмотрено 8–10 лекционных и 8–10 практических занятий, а материал столь обширен. Ясно, что для многих втузов в сложившихся обстоятельствах необходима выработка новых концепций изложения, как теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и практики. Мы думаем, что методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и др.), сводящиеся к квадратурам, должны быть рассмотрены на практических занятиях. На лекциях должны остаться общие вопросы теории уравнений первого порядка (типы уравнений, понятия о частном, общем и особом решениях, теоремы существования и единственности решения задачи Коши) и возможно ряд геометрических задач.

Правда последнее время ситуация немного изменилась в лучшую сторону. Во многих технических вузах дисциплина дифференциальные уравнения читается как отдельный курс. Поэтому появилась возможность чуточку углубляться при изучении дифференциальных уравнений, рассмотреть методы интегрирование с помощью рядов, решение дифференциальных уравнений при помощи интегральных преобразований, исследовать задачи, которые требуют нестандартный подход. Обычно при решении обыкновенных дифференциальных уравнений поступают стандартными методами.  Но не все примеры решаются стандартными методами, когда студенты сталкиваются с задачами, при решении которых, требуется нестандартный подход они испытывают определенные трудности. В данной работе мы разбираем несколько примеров которые требуют не стандартного подхода для их решения.

Пример 1. Найти совпадающие решения двух дифференциальных уравнений:

Если мы попытаемся решить каждое уравнение по отдельности, то сталкиваемся с определенными трудностями. По этому их будем рассматривать в совокупности. Умножив второе уравнение на -1, складываем с первым уравнением, в результате имеем

.

Мы получили квадратное уравнение относительно искомой функции  которое не зависить от производной функции, поэтому полученное уравнение является алгебраическим (рассматривается как параметр). Так как дискриминант уравнения  оно имеет двух решений:

Непосредственная проверка показывает, что функция  является общим решением этих двух уравнений при любом  (и даже при любом ), а вторая функция  удовлетворяет первому уравнению при одних значениях  а второму уравнению при других значениях  поэтому она не является общим решением этих двух уравнений ни при каких значениях   Здесь через  и  обозначены действительных и комплексных чисел соответственно.

Пример 2. Найти общее решение уравнения:

                 (1)       

Данное уравнение является уравнением порядка, второй степени. Перепишем его как квадратное уравнение относительно , при этом как и предыдущим примере и  будем рассматривать, как параметры

Решая, квадратное уравнение находим

   или 

Таким образом, мы получили два линейных дифференциальных уравнения первого порядка. Теперь, мы действуем стандартными методами, т.е. сначала решаем однородное уравнение, а потом методом вариации постоянных находим общие решения неоднородных уравнений:

Пример 3. Решить уравнение

                    (2)

Так как  решение этого уравнения будем искать в области (рисунок 1).

Введем обозначение:  Подставляя в уравнение (2) вместо  и  соответствующие выражения относительно новой функции  получим уравнение

В полученном уравнение сделаем стандартную подстановку  (новая неизвестная функция). Таким образом, мы получили уравнение с разделяющимся переменными:

Дальнейшие решение не составляет труда, разделив переменные полученное уравнение можно решить стандартными методами. В данной статье мы рассмотрели несколько примеров. Таких примеров можно привести сколько угодно.

Список литературы:

1. Сафаров Ж.Ш. Из истории развития обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений // Международная научно-практическая конференция «Математика в современном техническом университете». Материалы конференции, Украина, Киев- 2013- С. 401-402.
2. Сафаров Ж,Ш., Нафасов А.Ю. Анализ преимуществ и недостатков дистанционного обучения в условиях карантина // «ИНТЕРНАУКА» Научный журнал, Москва,№ 16(145) Май 2020 г. Часть 1,с.61-62.