ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И СИМПЛЕКСНОГО МЕТОДА В ТЕХНОЛОГИИ ПОДБОРА ОПТИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ МОДИФИКАТОРОВ ДЛЯ БИТУМНОГО ВЯЖУЩЕГО

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И СИМПЛЕКСНОГО МЕТОДА В ТЕХНОЛОГИИ ПОДБОРА ОПТИМАЛЬНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ МОДИФИКАТОРОВ ДЛЯ БИТУМНОГО ВЯЖУЩЕГО

Газизова Диана Билаловна

магистрант, Казанский национальный исследовательский технологический университет, РФ, г. Казань

Емельянычева Елена Анатольевна

канд. техн. наук, доц., Казанский национальный исследовательский технологический университет, РФ, г. Казань

THE USE OF MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION METHOD AND THE SIMPLEX METHOD IN THE TECHNOLOGY OF SELECTING THE OPTIMUM CONCENTRATION OF MODIFIERS FOR A BITUMINE BINDER

Diana Gazizova

Master’s Degree student, Kazan National Research Technological University, Russia, Kazan

Elena Emelyanycheva

Candidate of technical sciences, Associate Professor, Kazan National Research Technological University, Russia, Kazan

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрена проблема оптимизации параметров полимерно-модифицированных битумных вяжущих. В этой связи актуальным является задача использования метода математического планирования эксперимента — методов многокритериальной оптимизации и симплексного метода. В статье предложен подход, позволяющий применить данные методы, и предложены обобщенные критерии эффективности разработки и анализа составов полимерно-битумных вяжущих.

ABSTRACT

The article considers the problem of optimization the parameters of polymer-modified bituminous binders. In this regard, actual problem of using the design of experiments and experimental data processing: the method of multi-objective optimization and the simplex method. The article proposes an approach that makes it possible to apply these methods, and proposes generalized criteria for the effectiveness of the development and analysis of the compositions of polymer-bitumen binders.

Ключевые слова: планирование эксперимента и обработка данных, модифицированный битум, симплекс-метод, многокритериальная оптимизация.

Keywords: design of experiments and experimental data processing, modified bitumen, multi-objective optimization, simplex algorithm.

Наиболее распространённым типом дорог в России являются асфальтобетонные покрытия, содержащие в своём составе нефтяные битумы, поэтому основным пунктом для предотвращения преждевременного разрушения дорожного покрытия является улучшение свойств битумов. Одним из эффективных способов повышения качества традиционного битума является корректирование его характеристик с помощью добавления модификаторов. Модифицирование битумов полимерными добавками для повышения долговечности  дорожных покрытий стало перспективным направлением: их использование позволяет значительно повысить срок службы битумных строительных материалов. В дорожно-строительной отрасли тщательно относятся к выбору полимерно-битумных вяжущих (ПБВ), и, принимая окончательное решение, руководствуются критериями качества, соответствующими конкретным условиям, при этом стремясь достичь оптимального значения показателей качества материала.

Остановимся на методах многокритериальной оптимизации и симплексных решёток, которые нередко используются для подбора оптимальной концентрации модифицирующих добавок битумного вяжущего.

При решении проблемы неопределенности существует возможность достижения оптимального сочетания требуемых качеств продукта. Упростить сложность описания системы с учетом возможного проявления свойств при разработке и исследовании таких сложных систем, как полимерно-битумные вяжущие, позволяет системный подход. В результате становится возможным решение задачи многокритериальной оптимизации.

Рассмотрим использование метода многокритериальной оптимизации при разработке составов рецептур полимерно-битумных вяжущих. Многокритериальная оптимизация — это процесс одновременной оптимизации двух или более конфликтующих целевых функций в заданной области определения [1]. Методы многокритериальной оптимизации в конечном множестве обычно делят на две группы: векторные и скалярные. Под векторной оптимизацией подразумевается нахождение такого варианта (альтернативы), при котором векторный критерий будет иметь наилучшее значение; при скалярной оптимизации находят такой вариант, при котором скалярный критерий будет иметь наилучшее значение. Чтобы рассчитать скалярные оценки объектов исследования, необходимо преобразовать исходный векторный аргумент в скаляр.

Во время планирования эксперимента формируется множество разных вариантов для решения поставленных задач и достижения цели исследования [5]. ПБВ — это сложная битумная система, состоящая из нескольких подсистем (полимерные модификаторы, пластификаторы, адгезионные добавки и т.д.), которые связаны в единое целое под определёнными пропорциями. Параметры этой системы определяются и физико-химическими свойствами исходных веществ, и способом взаимодействия этих веществ, поэтому чтобы получить полную информацию для разработки рецептуры битумного вяжущего, нужно провести системный анализ.

С помощью метода многокритериальной оптимизации можно сделать анализ и оценить, как влияют компоненты в составе на характеристики ПБВ. Подбор оптимальной концентрации для состава модифицированного битума проводится с учётом влияния различных концентраций компонентов на свойства полученного ПБВ. Для составления математической модели из нескольких факторов, которые влияют на показатели модифицированного битума, необходимо выбрать наиболее значимые для проведения оптимизационного эксперимента.

При проведении расчета на основе полного факторного эксперимента учитываются свойства ПБВ, указанные в ГОСТ Р 58400.3-2019. По данной методике для того чтобы определить, какой состав ПБВ будет оптимальным, оценивается эффективность каждого полученного состава. Стоит учитывать, что многокритериальная оптимизация является комплексным анализом, поэтому для получения битумного вяжущего высокого качества необходимо учитывать все характеристики экспериментальных составов ПБВ, которые должны превышать нормативные, указанные в государственных стандартах.

Таким образом, изменяя модификаторы и марки исходного битума, можно создать и подобрать эффективные составы ПБВ. При этом необходимо помнить, что при увеличении диапазона варьирования экспериментальных составов (при добавлении сшивающих агентов, пластификаторов, адгезионных добавок) во время модификации битумного вяжущего увеличивается вероятность создания состава, удовлетворяющего требованиям нормативных документов. В результате проблему подбора оптимальной концентрации модификаторов битумного вяжущего помогает решить метод многокритериальной оптимизации: имея информацию о свойствах компонентах, их взаимодействии между собой и их влиянию на характеристики получаемого ПБВ, можно подобрать оптимальный состав, экономя временные сроки и трудовые затраты.

При планировании эксперимента на диаграммах состав-свойство используют следующий алгоритм:

— выбор математической модели, соответствующей эксперименту;

— составление матрицы планирования эксперимента;

— определение коэффициентов уравнения;

— оценка и проверка адекватности полученной модели, если модель неадекватна, то выбирают новое уравнение более высокой степени;

— графическое изображение модели и вычисление доверительных интервалов.

Однако построение моделей методом полнофакторного эксперимента имеет ряд недостатков. Количество опытов, равное 2ⁿ, чаще  всего значительно превышает число требуемых коэффициентов, что не подходит для длительных, требующих больших денежных вложений и сложных исследований. Поэтому чаще всего используют такие методы планирования эксперимента, которые позволяют провести минимально необходимое количество экспериментов. Для многокомпонентных смесей, к которым относится ПБВ, удобно использовать симплексные планы. Несмотря на большую вариативность в размещении экспериментальных точек на поверхности симплекса, чаще всего используются симплекс-решётчатые, симплекс-вершинные и симплекс-центроидные планы Шеффе.

Симплекс — это множество (k + 1) независимых точек в k-мерном пространстве, образующих выпуклую фигуру. Минимальное количество экспериментальных точек для линейной аппроксимации поверхности отклика образует правильный симплекс. Симплекс называется правильным, если все его вершины равноудалены друг от друга, а рёбра или стороны имеют одинаковую длину. Например, для пространства k = 2 симплексом будет являться равносторонний треугольник, а для пространства  k = 3 — тетраэдр.

Различают несколько вариантов симплексных планов. По матрице планирования наиболее простого симплекс-плана можно провести эксперимент в пространстве с любым количеством измерений. Она состоит из элементов K_i и R_i, где i = 1,2, ..., k [3].

Пример матрицы для {3, 3} решетки приведен в таблице 1.

Таблица 1.

Матрица планирования для {3, 3} решетки

Для трёхкомпонентной смеси квадратное уравнение зависимости свойства y от состава x_i имеет вид:

y = b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃.

Доказано, что для нахождения коэффициентов приведенной формы регрессионного уравнения надо поставить эксперименты, координаты которых расположены внутри (k-1)-мерного правильного симплекса, если число компонентов смеси равно k.

Для k = 3 двумерный правильный симплекс — равносторонний треугольник — получается, если соединить в декартовой системе координат точки х_i = 1, т. е. выполнить условие нормирования. Координаты точек такого симплекса удобно записывать в треугольной системе координат, где вершины треугольника отвечают х_i = 1.

Для нахождения коэффициентов регрессионного уравнения необходимо помнить, что линейные члены имеют коэффициенты, равные результату опыта, в котором присутствовал только данный компонент. Коэффициенты b_ij при парных взаимодействиях находятся из результатов опытов с данными компонентами и соответствующей смесью [6].

Исследуя свойства многокомпонентной системы в заданных точках симплекс-планов, можно рассчитать коэффициенты полиномов по соответствующим формулам. Некоторые симплексные решётки низшего порядка могут составлять решётки более высоких порядков. Например, для получения квадратичной решётки можно добавить к линейной решётке точки, делящие стороны симплекса пополам, а неполно-кубическую решётку можно получить, добавив к квадратичной решётке точку в центре симплекса. Примеры {q, n}-решёток приведены на рисунке 1.

При исследовании многокомпонентных систем необходимо помнить об этом свойстве симплекс-планов, так как до проведения эксперимента может быть недостаточно подробных данных о виде поверхности отклика для конкретных смесей, что может привести к недооценке сложности системы и неправильному выбору полинома степени n [4]. Поэтому полученная модель будет неадекватна, и для того, чтобы повысить степень найденного уравнения, потребуется провести некоторое количество дополнительных опытов.

а – линейная {3;1}; б – квадратичная {3;2}; в – неполно-кубическая; г – кубическая {3;3}; д – четвёртой степени {3;4}; е – восьмой степени {3;8}; ж – квадратичная {4;2}; з – кубическая {4;3}

Рисунок 1. Некоторые из {q, n}-решёток

Количество точек в симплекс-центроидных планах Шеффе равно 2^q-1, при этом из них q приходится на чистые компоненты,  — на двухкомпонентные смеси, — на трехкомпонентные смеси, а одно наблюдение сохраняется для смеси из q-компонентов [2]. В данных планах координатами точек являются (1, 0, ..., 0), (½, ½, 0, ..., 0), ..., (1/q, 1/q, ..., 1/q), а также все остальные точки, которые можно из них получить перестановками координат. Следовательно, симплекс-центроидный план обязательно включает точку в центре главного симплекса и точку в центре всех симплексов низшего порядка, из которых он состоит.

Для q-компонентной смеси возможно составить только один симплекс-центроидный план. Например, симплексная решётка для построения модели неполной третьей степени будет одновременно являться симплекс-центроидным планом для трехкомпонентных систем.

При составлении симплекс-центроидных планов чаще всего проведённый опыт в центре симплекса оставляют в качестве одной степени свободы для проверки адекватности полученной модели после обработки данных остальных опытов. Однако при необходимости адекватность уравнения можно оценить и в других точках, если провести в них отдельные опыты.

Таким образом, при симплекс-решётчатом и симплекс-центроидном планировании эксперимента отсутствует необходимость в пространственном представлении сложных поверхностей отклика, так как свойства можно определять из уравнений регрессии. При этом остаётся возможность представить математическую модель в виде диаграмм и графиков, что делает отображение результатов экспериментов более наглядным. Пример графической интерпретации результатов с использованием метода симплексных решёток представлен на рисунке 2.

Рисунок 2. Графическая интерпретация результатов экспериментов, поставленных по симплекс-решетчатым и симплекс-центроидным планам

После выбора подходящего симплексного плана осуществляется расчёт коэффициентов полиномиального уравнения и проводится статистическая обработка и анализ полученных результатов.

Для оценки и проверки адекватности полученной модели ставятся дополнительные опыты в контрольных точках. Выбор контрольных точек зависит от нескольких факторов: например, сложность и количество опытов, требуемые цели и задачи исследования, изучаемая поверхность отклика, возможность использования полученных данных в результате проведения контрольных опытов повышения степени полинома.

Следовательно, в работе по оптимизации параметров полимерно-модифицированных битумных вяжущих актуальным является задача использования метода математического планирования эксперимента, среди которых важное место занимают метод многокритериальной оптимизации и симплексный метод, позволяющие применять обобщенные критерии эффективности разработки и анализа составов полимерно-битумных вяжущих.

Список литературы:

1. Ахмадиев Ф.Г. Математическое моделирование и методы оптимизации: Учебное пособие / Ф.Г. Ахмадиев, Р.М. Гильфанов. – Казань: Издательство Казанского государственного архитектурно-строительного университета, 2017. – 178 с.
2. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии / С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров. – М: Высшая школа, 1985. – 328 с.
3. Должанский Ю.М. Планирование эксперимента при исследовании и оптимизации свойств сплавов / Ю.М. Должанский, Ф.С. Новик, Т.А. Чемлева. – М.: ОНТИ, 1974. – 132 с.
4. Зедгинидзе, И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем / И.Г. Зедгинидзе. – М.: Наука, 1976. – 390 с.
5. Зобнина О.В., Дю А.И., Бабаева Ю.А. Многокритериальная оптимизация // StudNet. Общество с ограниченной ответственностью «Электронная наука», 2021. – №1.
6. Лебедев Н.Н. Теория химических процессов основного органического и нефтехимического синтеза / Н.Н. Лебедев, М.Н. Манаков, В.Ф. Швец – М.: Химия, 1984. – 376 с.