МЕТАМАТЕМАТИКА: ФИЛОСОФИЯ НАУКИ

МЕТАМАТЕМАТИКА: ФИЛОСОФИЯ НАУКИ

Нурадин Гульхан Болатовна

канд. филос. наук, доц., (ассоц. проф.), Таразский государственный университет,

Казахстан, г. Тараз

Камалова Джамиля Джолдасовна

магистрант, Таразский государственный университет,

Казахстан, г. Тараз

АННОТАЦИЯ

Метаматематика — раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики». В широком смысле слова метаматематика — метатеория математики, не предполагающая никаких специальных ограничений на характер используемых метатеоретических методов, на способ задания и объём исследуемой в ней «математики». Исследование метаматематики производит метатеория. Акцент на метаматематике (и, возможно, создание самого термина) принадлежит Дэвиду Гильберту с попытки обоснования основ математики в начале 20 века. «Метаматематика и философская традиция» является первой работой, в которой так глубоко исследована связь между фундаментальными философскими затруднениями в отношении самоссылки и метаматематическими представлениями о последовательности и неполноте. Метаматематика предоставляет «строгую математическую технику для исследования большого разнообразия фундаментальных проблем математики.  Важной особенностью метаматематики является ее акцент на различении между рассуждениями изнутри системы и извне системы. Неформальной иллюстрацией этого является отнесение предложения «2 + 2 = 4» к категории математики, а суждение «2 + 2 = 4 действительно» относится к метаматематике.

ABSTRACT

Metamathematics is a branch of mathematical logic that studies the foundations of mathematics, the structure of mathematical proofs and mathematical theories using formal methods. The term "metamathematics" literally means "beyond mathematics". In the broad sense of the word, metamathematics is a metatheory of mathematics that does not imply any special restrictions on the nature of the metatheoretical methods used, on the method of assignment and the scope of the "mathematics" studied in it. The study of metamathematics produces a metatheory. The emphasis on metamathematics (and possibly the creation of the term itself) belongs to David Hilbert from an attempt to substantiate the foundations of mathematics in the early 20th century. "Metamathematics and Philosophical Tradition" is the first work in which the connection between fundamental philosophical difficulties regarding self-reference and metamathematical notions of consistency and incompleteness is so deeply investigated. Metamathematics provides "a rigorous mathematical technique for investigating a wide variety of fundamental problems of mathematics. An important feature of metamathematics is its emphasis on distinguishing between reasoning from within the system and from outside the system. An informal illustration of this is the attribution of the sentence "2 + 2 = 4" to the category of mathematics, and the judgment "2 + 2 = 4 really" refers to metamathematics.

Ключевые слова: метаматематика, теория доказательств, бесконечность, непротиворечивость теорий, финитность, метатеорема.

Keywords: metamathematics, proof theory, infinity, consistency of theories, finiteness, metatheorеm.

Метаматематическая метатеорема о самой математике изначально отличались от обычных математических теорем в 19 ​​веке. Необходимо было сосредоточиться на том, что тогда называлось фундаментальным кризисом математики.  Парадокс Ричарда (Ричард 1905), касающийся некоторых «определений» действительных чисел, является примером противоречия, которое может легко возникнуть, если не провести различие между математикой и метаматематикой. Нечто подобное можно сказать и о всем известном парадоксе Рассела (Содержит ли набор всех тех наборов, которые не содержат самих себя?).

Метаматематика была тесно связана с математической логикой, ведь ранние истории этих двух областей в конце 19-го и начале 20-го веков в значительной степени пересекаются. В последнее время математическая логика часто включала изучение новой чистой математики, такой как теорию множеств, теорию вероятностей и чистую теорию модулей, которые не имеют прямого отношения к метаматематике. Метаматематика рассматривает формализованную теорию как множество некоторых конечных последовательностей символов, называемых формулами и теоремами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и теоремы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой предложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам дедукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствующие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве аксиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответствуют теоремам содержательной теории. Множество формул, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования.

Серьезные метаматематические размышления начались с работ Готтлоб Фреге, особенно с его труда «Концептуальный сценарий», опубликовано в 1879г. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лидером этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с помощью простых методов метаматематике удастся доказать непротиворечивость фундаментальных математических теорий. В руках Гильберта это означало что-то вроде современной теории доказательств, в котором финитарные методы используются для изучения различных аксиоматизированных математических теорем. Однако теоремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществима. [4. стр 41]  Использование финитных методов для исследования формализованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера. Но на практике ограничение методов доказательства элементарными методами значительно усложняет математические исследования. Поэтому для более глубокого проникновения в сущность формализованных теорий современная метаматематика широко использует более сложные, нефинитные методы. Множество терминов любой формализованной теории является алгеброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно: булевой алгеброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т. п. — в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти виды алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и топологического пространства. С этой точки зрения представляется естественным применение в метаматематике методов алгебры, теории решеток (структур), теории множеств и топологии. Широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций. Теоремы Гёделя можно было воспринимать как «конец», но, свидетельствуя об ограниченности финитизма, формализма и связанной с ними гильбертовской программы, а также аксиоматического метода в целом, эти теоремы в то же время послужили мощным стимулом поиска средств доказательств (в частности, доказательств непротиворечивости) более сильных, чем финитные, но и в определённом смысле конструктивных. Одним из таких методов явилась трансфинитная индукция до первого недостижимого конструктивного трансфинита. Этот путь позволил получить доказательство непротиворечивости арифметики (Г. Генцен, В. Аккерман, П. С. Новиков, К. Шютте, П. Лоренцен и др.). Другим примером может служить ультраинтуиционистская программа обоснования математики, позволившая получить абсолютное (не пользующееся редукцией к какой-либо другой системе) доказательство непротиворечивости теоретико-множественной системы аксиом Цермело — Френкеля. Сегодня, металогика и метаматематика во многом пересекаются, и обе они были существенно включены в математическую логику в академических кругах. Открытие гиперболической геометрии имел важные философские последствия для метаматематики. До ее открытия была только одна геометрия и математика; идея существования другой геометрии считалась невероятной.

Когда Карл Гаусс открыл гиперболическую геометрию, говорят, что он ничего об этом не публиковал из-за страха перед «шумом беотийцев», что разрушило бы его статус как princeps mathematicorum (Лат. «Князь математиков»). [1. стр 255] «Шум беотийцев» пришел и утих, и дал толчок метаматематике и большим улучшениям в ней.

Согласно Гильберту, создание Кантором теории трансфинитных чисел привело к тому, что «[актуально] бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своем дерзком полете достигло головокружительной высоты успеха» [2. стр 348]  На самом деле, реакция на это открытие предстала молниеносно. Обоснование совместимости актуальной бесконечности, математической моделью которой была теория трансфинитных чисел Кантора, с конечными разделами и методами математики стала ведущим мотивом новой программы обоснования математики, названной метаматематикой (теорией доказательства, формализмом).

Все математики до безумия любят все канонизировать. Рассмотрим самое простое и правильное из всего, что можно выбрать. Это каноническая запись числа. Что еще может быть истиннее и правильнее этого? - Ничего!

Но и здесь не так все просто. Например, разделим единицу на 3 и результат умножим на 3. В результате получим

1/3 = 0,333(3);

0,333(3)*3 = 0,999(9)

И здесь, как видим, результат получается дуальный, и мы оказывается вынуждены постулировать тождество

1,000(0) тождественно 0,999(9)

И вообще, для любой достаточно сложной логической структуры, любая попытка единственно верного определения приводит как минимум к дуальному результату. Свойством дуальности обладают все определения достаточно сложной логической системы. И это свойство обеспечивает нам открытость любой логической системы (или ее обобщение) при любом ее замыкании [5. стр 26].

Непротиворечивость теорий доказывалась и до того, как Гильберт начал свои исследования в области обоснования математики. Если исследуемая область объектов была конечна, то для аксиом доказываемой теории искали подходящую модель, т. е. систему объектов, удовлетворяющую этим аксиомам. Например, «Повсюду, где применяется аксиоматический метод, встает вопрос о доказательстве непротиворечивости аксиом. В геометрии и в физических теориях удалось свести это доказательство к вопросу о непротиворечивости аксиом арифметики. Этот метод, очевидно, не применим к самой арифметике» [2. стр 377]. Таким образом, осталось решить последний вопрос — как доказать непротиворечивость арифметики и теории множеств, если область исследуемых объектов бесконечна? Ведь введение бесконечности само по себе представляет абстрактное допущение, требующее специального обоснования. Решение этой проблемы, названное прямым доказательством непротиворечивости, дал Гильберт. Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения — «сокращенными выражениями», которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны». Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и её развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной логики и решения математических задач. Методом является математическая логика.

Метаматематика исследует следующие вопросы:

• непротиворечивости и полноты формализованных теорий;
• независимость аксиом;
• проблему разрешимости;
• вопросы определимости и погружения одних теорий в другие;
• дает точное определение понятия доказательства для различ ных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции;
• изучает проблемы интерпретации формальных систем и их раз личные модели;
• устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями.

Основная идея метаматематики проста. Чтобы не быть зависимой от абстракции бесконечности в своем основании, математика должна строиться с допущением существования конечных систем объектов и использовать содержательные, исключающие суждения о бесконечности, рассуждения. Какие бы опыты и наблюдения ни проводились, в природе существование бесконечного обнаружить нельзя. Бесконечность — идеальный конструкт, абстракция (интерполяция или экстраполяция) очень больших и очень малых величин, изобретение нашего ума, но не более. «Разве не ясно, что когда мы, как нам кажется, в каком-то смысле познаем реальность бесконечного, на самом деле мы лишь позволяем себе соблазниться чудовищно большими и чудовищно малыми размерами, которые так часто встречаются в действительности» [2. стр 350]. Значит, бесконечное, если математик не хочет совершить ошибку, должно быть исключено из посылок его рассуждений об основаниях математики. Ведь содержательные умозаключения о действительных вещах и процессах никогда не обманывали человека, если не применялись произвольные способы образования понятий.

Финитность Гильберта по-новому сформулировала проблему актуальной бесконечности. Такая бесконечность не дана нам ни в опыте, ни в интуиции. Она не является атрибутом реальности. Значит, проблема завершенной бесконечности — исключительно внутриматематическая проблема и должна решаться математическими средствами. «В результате этих размышлений мы приходим к пониманию того факта, что вопрос о существовании какого-либо бесконечного многообразия не может быть разрешен посредством указания каких-либо внематематических объектов, а должен решаться внутри самой математики» [3. стр 41].

Согласно метаматематике все рассуждения об актуально бесконечных числах, множествах и числовых последовательностях должно свестись к конечным преобразованиям знаков или формул; обеспечить максимальную надежность математических доказательств за счет ограничения их конечными процедурами. «Мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности... понимать как нечто кажущееся... И подобно тому как действия с бесконечно малыми были заменены процессами в конечном, которые дают те же результаты и приводят к тем же изящным формальным соотношениям, выводы, содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены конечными процессами, дающими в точности те же самые результаты» [3 стр 59].

Определение метаматематики обосновывает принципиальное решение проблемы законности системы аксиом математической теории в случае бесконечной области ее объектов. Так как исследование такой области с целью проверки выполнимости аксиом становится бессмысленным, то единственный выход в этой ситуации состоит в доказательстве невозможности возникновения противоречия при предположении, что теория истинна.

С одной стороны, философия метаматематики занимается проблемами которые тесно связаны с центральными проблемами метафизики и металогики. На первый взгляд кажется, что метаматематика изучает абстрактность объектов. Это заставляет задуматься, какова природа метаматематики. Сущность заключается в том, как мы можем иметь знания метаматематики. Если эти проблемы расцениваются как неразрешимые, то один может попытаться посмотреть, могут ли метаматематические объекты каким-то образом принадлежать в конце концов, конкретному миру.

С другой стороны, оказалось, что в какой-то степени это возможное применение метаматематических методов к философскому вопросу, касающегося математики. Оказалось, это было это метаматематическая логика, как включающее теорию доказательств, теорию моделей, теорию множеств и теория вычислимости. Таким образом, двадцатый век был свидетелем математического исследования последствий того, что по сути являются философскими теориями, касающимися природы метаматематики.

Когда профессиональные математики озабочены основами их субъектов, они, как говорят, занимаются фундаментальными исследованиями. Когда профессиональные философы исследуют философские вопросы что касается метаматематики, они, как говорят, вносят свой вклад в философию метаматематики. Конечно, различие между философией метаматематики и основы метаматематики расплывчаты, и чем более существует взаимодействие между философами и математиками, работающими по вопросам, относящимся к природе метаматематики, тем лучше.

Список литературы:

1. Торретти, Роберто (1978). Философия геометрии от Римана до Пуанкаре. Дордрехт Холланд: Рейдел.
2. Гильберт Д. Указ. соч.
3. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления иформализация арифметики. М., 1979.
4. Ирвин, Эндрю Д. (1 мая 2003 г.). "Principia Mathematica (Стэнфордская энциклопедия философии)". Лаборатория метафизических исследований, CSLI, Стэнфордский университет. 2009 г.
5. Метаматематика и философская традиция. Уильям Боос. Под редакцией: Флоренс С. Боос. 2020 г.
6. «Философия метаматематики», научная статья Стэндфордской энциклопедии философии. Л. Хостенс, 2022 г.