ДВА ВАРИАНТА РЕШЕНИЯ 10-ОЙ ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА (ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АСПЕКТ)

ДВА ВАРИАНТА РЕШЕНИЯ 10-ОЙ ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА (ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АСПЕКТ)

Рувим Тынт

специалист по теории чисел,

Израиль, г. Нешер

АННОТАЦИЯ

В работе приведены два варианта принципиальных решений 10-ой проблемы Гильберта, не считая приведенных в ней же решений нескольких разветвлений. 1-ый вариант-в формулировке самого Гильберта.

2-ой вариант -в существенно измененной автором работы формулировке Гильберта. Оба варианта решаются двумя тождествами:

п.п.1.2.1.и 1.2.2. Но поскольку по ходу решения возникают некоторые нюансы, решения представлены и в несколько развернутой форме.

Представляется, что приведенные решения принципиально охватывают, по меньшей мере, весь возможный степенной ареал (и не только) произвольных диофантовых уравнений, которых бесконечное множество.

Ключевые слова: два, варианта, решения, 10=ой проблемы, Гильберта.

§ 1

1-ый вариант

1.1. Приведем проблему в формулировке самого Гильберта: «Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах» [2]. Полное решение проблемы в этой формулировке приведено в [3].

1.2.1. Соответствующий вариант решения (тождество):

[q(++.t]+[q(+-.t]q(+,

где  ,,-произвольные натуральные числа.

1.2.2. Тождество:

++…++.. … ]+…..]+…+[q(++

…++….]+[+…+

….(+…+)]q(++…+.

Можно разбить произвольно сумму t по вышеприведенным слагаемым, сделав соответствующие изменения.

,…,,,…,,,…,,q, n-произвольные натуральные числа.

1.3. Приведем пример в варианте 10-ой проблемы:

(++(+(+,где,, n=..-произвольные натуральные числа. Отсюда,

(+[(+()[(+.

(++(+(+)(+,где

,,,,n-произвольные натуральные числа.

1.4.1. Например, уравнение  +=35=5.7 неразрешимо в натуральных числах, поскольку простое число 4.1+3=7 в нечетной степени.
 А  +=5.=.+1.).=196+49=+ из возможного степенного ареала.

§ 2

2.1. Пример: am+bn=c. Решение приведено в [4], в котором доказывается, что решений может быть только одно (x=m  y=n) при m  и  n – произвольных натуральных числах.

2.1.1. При +b   =-a    и   , где =0,1,2,3,… ,

количество решений может быть сколь угодно большим.

Проверка: a+b=ca(+b)+b(-a)=a+b.

2.1.2.[4] №145: a+bn=c= a(-b)+b(n+a). При  количество решений в натуральных числах может быть сколь угодно большим

(другой вариант решения задачи).

2.1.3. Несколько расширим рамки задачи:

a-b=ca()-b()=a-b ,где =0,1,2,3,…,

,-произвольные натуральные числа такие, что с;  количество решений может быть сколь угодно большим.

2.1.4. По существу доказана (разрешена) гипотеза Пиллаи:

«При заданных натуральных числах A,B,C уравнение =C

имеет лишь конечное число решений (x,y, ,) в натуральных числах».

§ 3

2-ой вариант

3.1. Решим ее в следующей формулировке: «Пусть задано диофантово уравнение с произвольными целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах».

3.1.1. Решение проведем для двух систем натуральных чисел:

1) Для системы, показатель «карусели которой равен единице.

2) Для системы, показатель «карусели» которой  .

Показатель «карусели»- число этапов для получения необходимого решения уравнения (k -число слагаемых в левой части уравнения, которое будет рассматриваться при решении).

Только при k=2 =1 и =3.

3.1.2. Решение для системы, показатель «карусели» которой равен единице;

3.1.3. Подучено тождество: u(v-c) +v(c-u)c(v-u), где примем v-произвольные целые рациональные числа.

3.2. По-другому, все, обозначенное в круглых скобках, можно представить целочисленной величиной в произвольной степени, используя предложенный алгоритм) - «новая» теория с точки зрения целочисленного решения, например, системы трех уравнений с тремя неизвестными (возникающие при этом проблемы разрешимы).

3.3. Поскольку [  (v-c)]+ (c-u)v-u)]- тождество, то система уравнений   v-c=   c-u=   v-u=разрешима в натуральных

числах и тогда и только тогда, когда  произвольные натуральные числа;  +,что возможно при

(..+(.(.,где ,,-

произвольные попарно взаимно-простые натуральные числа;;;

=3;  p=1  =8 ; .5-q.2.3=1  q=4   ; -m.2.5=1 m=2 ;     (..+(.(. [1].

3.4. Пример: v=11  c=8   u=3;  3(11-8)+11(8-3)=8(11-3);(11-8)+(8=3)=(11-3);

3(.+11(..=8(... И т.д. и т.п. аналогично.

P.S. 11=8+3 - случайное совпадение; возможно, например, 119+4;117+5, и т.д. Коэффициенты - произвольные натуральные числа.

3.5. Решение для системы, когда показатель «карусели» которой, используя предыдущие пункты3.1.-3.4. и соответствующий алгоритм [1].

Все коэффициенты и показатели степеней- произвольные натуральные числа.

3.6. Возможен и такой вариант: =u.; =c.; =v. .

3.7. x(p+y)+y(z-x)+z(p-y)p(z+x)  и т.п.

Список литературы:

1. Р.Тынт, «Общий метод нахождения бесчисленного множества целочисленных решений ряда неразрешимых до сих пор диофантовых уравнений, в частности, «Великой» теоремы Ферма, используя «карусель» поэтапных степенных итераций (элементарный аспект), «Интернаука», №3(273), январь 2023г.,ч.1,Москва,cтр.31-32,DOI:10.32743/26870142.2023. 3.273.351533
2. Проблемы Гильберта. Сборник под редакцией П.С. Александрова, «Наука», Москва,1969,стр.39.
3. [Р.Тинт, «Вариант решения одной из проблем диофантова анализа гипотезы Берча-Свиннертон-Дайера-одной из 7 проблем тысячелетия-и получения ряда тождеств, подтверждающих правильность ее решения» (элементарный аспект), Научный журнал «Интернаука», №22(245), июнь 2022г., ч.2, Москва, стр. 35, Выводы: п.п.1.,4., DOI:10.32743/26870142.2022.22.245.342075
4. В.Серпинский, «250 задач по элементарной теории чисел», «Просвещение», Москва, 1968,задача №144-стр.28,решение-стр.88.