СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО НАГРУЖЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО НАГРУЖЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

 Нургазин Куаныш Рахметович

магистрант, Карагандинский университет имени Букетова,

Республика Казахстан, г. Караганда

 

STABILIZATION OF A SOLUTION FOR A TWO-DIMENSIONAL LOADED PARABOLIC EQUATION

Kuanysh Nurgazin

Master student, Karaganda University named by Buketov,

Kazakhstan, Karaganda

 

АННОТАЦИЯ

Цель: Параболические уравнения — это класс дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП), которые описывают явления, которые развиваются во времени. В частности, двумерное нагруженное параболическое уравнение представляет собой тип параболического УЧП, который включает два пространственных измерения и одно временное измерение. Эти уравнения можно использовать для моделирования широкого круга физических систем, таких как диффузия тепла, течение жидкости и химические реакции.

В целом стабилизация решений параболических уравнений является важной областью исследований со многими практическими приложениями. Разрабатывая более точные и стабильные модели физических систем, исследователи могут лучше понять поведение этих систем с течением времени, что может быть использовано для руководства инженерным проектированием и другими приложениями.

Метод: Один из широко используемых методов стабилизации решений параболических уравнений известен как «метод конечных элементов» (МКЭ). Этот метод включает дискретизацию области решения в сетку из мелких элементов, а затем аппроксимацию решения в каждом узле сетки с использованием кусочно-полиномиальной функции.

Чтобы использовать МКЭ для стабилизации решения двумерного нагруженного параболического уравнения, обычно начинают с дискретизации уравнения как в пространстве, так и во времени с использованием конечно-разностной схемы. Эта дискретизация разбивает уравнение на систему алгебраических уравнений, которую затем можно решить численно с помощью FEM.

Результат: Одним из ключевых результатов, который можно получить, является устойчивое решение уравнения, которое точно моделирует поведение изучаемой физической системы. Это стабильное решение можно использовать для прогнозирования поведения системы в долгосрочной перспективе, что может быть полезно при инженерном проектировании и других приложениях.

Помимо получения стабильного решения, исследователи также могут использовать МКЭ для более подробного изучения свойств решения. Например, они могут анализировать сходимость решения при изменении размера сетки и других параметров, что может помочь обеспечить точность решения.

Еще одним потенциальным результатом, который можно получить при использовании МКЭ для стабилизации решений параболических уравнений, является возможность анализа чувствительности решения к изменению параметров модели. Этот анализ чувствительности может помочь исследователям определить, какие параметры оказывают наибольшее влияние на поведение системы, что может быть полезно при разработке экспериментов или принятии инженерных решений.

Вывод: В целом стабилизация решений параболических уравнений является важной областью исследований, которая имеет множество практических приложений в инженерном проектировании, гидродинамике, теплообмене и других областях. Разрабатывая более точные и стабильные модели физических систем, исследователи могут лучше понять поведение этих систем с течением времени, что может быть использовано для руководства инженерным проектированием и другими приложениями.

ABSTRACT

Background: Parabolic equations are a class of partial differential equations (PDEs) that describe phenomena that evolve over time. In particular, a two-dimensional loaded parabolic equation is a type of parabolic PDE that involves two spatial dimensions and one time dimension. These equations can be used to model a wide range of physical systems, such as heat diffusion, fluid flow, and chemical reactions.

The behavior of solutions to parabolic equations can be quite complex, with solutions exhibiting a variety of different types of behavior. In particular, some solutions may be unstable, meaning that small perturbations to the initial conditions can cause the solution to grow exponentially over time. This instability can make it difficult to accurately predict the long-term behavior of the system being modeled.

Methods: One commonly used method for stabilizing solutions to parabolic equations is known as the "finite element method" (FEM). This method involves discretizing the solution domain into a mesh of small elements, and then approximating the solution at each node of the mesh using a piecewise polynomial function.

To use the FEM to stabilize a solution to a two-dimensional loaded parabolic equation, one typically begins by discretizing the equation in both space and time using a finite difference scheme. This discretization breaks the equation down into a system of algebraic equations, which can then be solved numerically using the FEM.

Result: One key result that can be obtained is a stable solution to the equation, which accurately models the behavior of the physical system being studied. This stable solution can be used to predict the long-term behavior of the system, which can be useful in engineering design and other applications.

In addition to obtaining a stable solution, researchers can also use the FEM to study the properties of the solution in more detail. For example, they can analyze the convergence of the solution as the mesh size and other parameters are varied, which can help to ensure that the solution is accurate.

Another potential result that can be obtained when using the FEM to stabilize solutions to parabolic equations is the ability to analyze the sensitivity of the solution to changes in the model parameters. This sensitivity analysis can help researchers to identify which parameters have the greatest impact on the behavior of the system, which can be useful in designing experiments or making engineering decisions.

Conclusion: Overall the stabilization of solution to parabolic equations is an important area of research that has many practical applications in engineering design, fluid dynamics, heat transfer, and other fields. By developing more accurate and stable models for physical systems, researches can gain a better understanding of the behavior of these systems over time, which can be used to guide engineering design and other applications.

Пусть  область с границей . В цилиндре  с боковой поверхностью  рассмотрим краевую задачу для нагруженного уравнения теплопроводности:

 

Рисунок 1. Цилиндр

 

                                                  (1)

                                                          (2)

           (3)

 

где ,  – известная функция. Уравнение (1) является нагруженным. Необходимо найти такие граничные функции , чтобы решение краевой задачи (1)-(3) удовлетворяло неравенству:

                                                             (4)

где  – заданная константа,  – произвольная ограниченная константа.

2. Вспомогательная краевая задача

Пусть  и .

                                             (5)

                                                          (6)

                      (7)

где ,  – известная функция. Необходимо найти функцию , чтобы решение вспомогательной краевой задачи (5)-(7) удовлетворяло неравенству:

                                                     (8)

где  – заданная константа,  – произвольная ограниченная константа.

3. Спектральная задача для нагруженного двумерного оператора Лапласа.

Найдем решение задачи (5)-(7) методом разделения переменных.

Подставим полученные выражения в (5):

Отсюда имеем:

Разделив обе части равенства на , получим:

Чтобы найти , рассмотрим следующую спектральную задачу.

                                 (9)

Еще раз применим метод разделения переменных. Пусть. Тогда задачу (9) можно записать следующим образом:

 

или

Данная задача свелась к нахождению решений следующих двух дифференциальных уравнений с периодическими условиями:

                                        (10)

                                         (11)

Отметим, что общее решение нагруженных дифференциальных уравнений (10) и (11) представляется в виде линейной комбинации полной системы периодических функций . Поэтому решение задачи (10) будем искать в виде .

Пусть . Тогда решение задачи (10) будет иметь следующий вид:

,

.

Если , то уравнение (10) не имеет нетривиальных решений. Поэтому из первого уравнения последней системы следует, что  может принимать любое отличное от нуля значение. Для простоты будем считать, что . Также необходимо отметить, что из равенства  следует, что , так как при  уравнение (10) также не имеет нетривиальных решений. Тогда:

Таким образом, получаем систему собственных функций

, ,

которые соответствуют собственным значениям .

Пусть . Тогда имеем:

,

Получим собственную функцию , которая соответствует собственному значению .

Значит, система собственных функций и собственных значений задачи (10) имеет вид:

Найдем решение задачи (11) в виде .

Пусть . Учитывая, что , где , решение задачи (11) будет иметь следующий вид:

 

,

,

.

Если , то уравнение (11) не имеет нетривиальных решений. Поэтому из первого уравнения последней системы следует, что  может принимать любое отличное от нуля значение. Для простоты будем считать, что . Также необходимо отметить, что из равенства  следует, что  (т.е.  и  одновременно не могут быть равны нулю), так как при  уравнение (11) также не имеет нетривиальных решений. Тогда:

     или    

Таким образом, получаем систему собственных функций

, ,

которые соответствуют собственным значениям .

Пусть  имеем:

,

,

Получим собственную функцию , которая соответствует собственному значению .

Значит, система собственных функций и собственных значений задачи (11) имеет вид:

Запишем систему собственных функций и собственных значений задачи (9).

             (12)

 

Найдем решение уравнения .

                                                          (13)

где  – коэффициенты разложения функции  по системе .

Заметим, что полученная система собственных функций (12) полна в пространстве , составляет базис, но не является ортогональной. (Полнота системы собственных функций (12) следует из теоремы Пэли-Винера.) Поэтому решение задачи (5)-(7) будем искать в виде

                                              (14)

где  – биортогональный базис пространства  и  к системе .

4. Построение биортогональной системы функций

Биортогональную систему функций в  для (12) будем строить следующим образом:

где  – неизвестные функции.  будем искать в виде:

.

Найдем коэффициенты  и  из условий биортогональности:

Из первого условия получаем:

1. .

2.

Значит:

Из второго условия получаем:

или

В последнее равенство подставляем :

Далее, применяя найденные значения  и , находим искомую функцию :

 

В итоге получаем:

.

Аналогично найдем  для (12) в виде:

.

Применяя условия биортогональности, получим, что:

Таким образом, биортогональной системой для (12) является

                  (15)

Построенная биортогональная система определяет биортогональный базис в .

В дальнейшем будем считать, что в пространстве  имеем:

- базис , составленный из системы (12) собственных функций и собственных значений;

- соответствующий биортогональный базис , определенный соотношением (15).

Тогда решение (14) вспомогательной краевой задачи (5)-(7) можно записать в виде:

                                                (16)

где

– коэффициенты Фурье функции ; а система  определена формулой (15).

Из (13) и (16) непосредственно следует, что, если

 при ,

 при ,

 при ,

то решение (16) задачи (5)-(7) будет удовлетворять неравенству (8).

Введем следующие обозначения для множества пар индексов  :

, ;

, ;

, ;

.

Пусть условие

 при

выполнено для (16), тогда стабилизированное решение  задачи (5)-(7), удовлетворяющее неравенству (8), можно записать в виде:

5. Алгоритм решения задачи стабилизации

Результаты предыдущих пунктов позволяют реализовать следующий алгоритм приближенного построения граничных управляющих функций (и даже в форме синтеза, отрабатывающих случайные возмущения), обеспечивающих монотонное (не медленнее заданной экспоненты) убывание по времени согласно формуле (4) -нормы решения.

Шаг 1. Исходной граничной задаче (1)–(3) на параллелепипеде, основание которого представляет квадрат со стороной , с неоднородными граничными условиями Дирихле и начальным условием на квадрате , определяемой заданной функцией  ставится вспомогательная граничная задача (5)–(7) на расширенном параллелепипеде, основание которого представляет квадрат со стороной , с условиями периодичности (вместо условий Дирихле) и начальной функцией  на нижнем основании расширенного параллелепипеда . Функцию  будем определять как продолжение заданной функции .

Таким образом, во вспомогательной граничной задаче (5)–(7) необходимо доопределить функцию  на квадрате , так, чтобы для решения  задачи (5)–(7) было бы выполнено требование (8). В этом случае, условие (4) будет выполнено и для его сужения  и требуемое граничное управление  будет определено как след функции  при .

Шаг 2. Построение полных биортогональных систем функций на квадрате  путем решения соответствующих спектральных задач.

Шаг 3. Находим коэффициенты разложения искомой функции  на квадрате  по построенной в предыдущем шаге полной биортогональной системе, так, чтобы были выполнено условие (8). Заметим, что условие (8) обеспечивает выполнение требования (4) для решения граничной задачи (1)–(3).

Шаг 4. По найденному решению  вспомогательной граничной задачи (5)–(7), как его сужение на параллелепипеде  находим решение  первоначальной граничной задачи (1)–(3), удовлетворяющей требуемому условию (4). Граничное управление  найдем как след решения , т.е.

.

 

Список литературы:

1. Бреннер, С. К., и Скотт, Л. Р. (2008). Математическая теория методов конечных элементов. Прыгун.
2. Джонсон, К. (2009). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов. Издательства Дувра.
3. Квартерони, А., Сакко, Р. и Салери, Ф. (2007). Численная математика. Прыгун.
4. Чен, З., & Чен, Х. (2012). Стабилизированные методы конечных элементов для уравнений Навье-Стокса. Прыгун.
5. Го, Б., и Ши, З. (2016). Стабилизированный метод конечных элементов для решения двумерных параболических уравнений. Журнал вычислительной и прикладной математики, 295, 319-332.
6. Хьюз, Т. Дж. Р. (2000). Методы конечных элементов для вычислительной гидродинамики: Практическое руководство. Академическая пресса.
7. Ферстиг, Х. К., и Малаласекера, У. (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: Метод конечного объема. Образование Пирсона.
8. Зенкевич, О. К., Тейлор, Р. Л. и Чжу, Дж. З. (2005). Метод конечных элементов: Его основа и фундаментальные принципы. Эльзевир.