«ЧУДЕСНОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

 «ЧУДЕСНОЕ» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Ведерников Сергей Иванович

пенсионер

РФ, г. Москва

"WONDERFUL" PROOF OF FERMAT'S GREAT THEOREM

Sergey Vedernikov

АННОТАЦИЯ

Цель работы - доказательство «Великой теоремы Ферма» самым простым способом, возможно именно тем, которое и назвал Ферма чудесным. Доказательство основано на методах, не используемых в настоящее время элементарной математикой. Понятие о них отсутствует в справочных источниках. Во – первых это представление о возможности выражения чётного числа, имеющего множитель 8 разностью квадратов двух нечётных чисел. Кроме того, применена особенность целочисленного решения квадратного уравнения пифагоровыми тройками. В результате полностью доказана теорема Ферма простыми методами, доступными математикам во времена появления «проблемы Ферма».  

ABSTRACT

The purpose of the work is to prove Fermat's Great Theorem in the simplest way, perhaps precisely the one that Fermat called wonderful. The proof is based on methods not currently used by elementary mathematics. The concept of them is not in reference sources. First, this is an idea of ​ ​ the possibility of expressing an even number having a factor of 8 by the difference in squares of two odd numbers. In addition, the peculiarity of the integer solution of the quadratic equation by Pythagorean triples is applied. As a result, Fermat's theorem has been fully proved by simple methods available to mathematicians at the time of the "Fermat problem."

Ключевые слова: разность квадратов двух нечётных чисел, разложение на множители, чётные числа, нечётные числа, пифагоровы тройки.

Keywords: difference in squares of two odd numbers, factorization, even numbers, odd numbers, Pythagorean triples.  

Имеется:  X, Y, Z, n – натуральные числа, X, Y, Z – взаимно простые числа, n > 2 .  

Доказать: уравнение  (1)  не имеет решений в целых числах.

Доказательство. 

Пусть Z > X > Y. Определимся с чётностью чисел X, Y и Z. То есть: два из этих чисел должны быть нечётными, а одно чётным. Пусть X и Z нечётные числа, а Y чётное число, поскольку принципиальной разницы между числами X и Y нет. (О чётном Z будет обговорено ниже.)

Посыл и его обоснование. Примем за основу утверждение, что любое чётное число, имеющее множителем число  при n  3, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Чётное число при  содержит множителем число 8. Сумма и разность двух нечётных чисел числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а второе – минимум , а в общем случае , где  при  n > 2 есть множитель чётного числа, выраженного произведением этой суммы и этой разности. Рассмотрим это детальнее. 

Имеется два нечётных числа:  и  , сумма которых есть , где  «сумма» в дальнейшем, а разность  где   «разность» в дальнейшем.

Поскольку и   могут быть любой чётности, рассмотрим все возможные случаи их сочетаний.

Случай 1.   - чётные.

Рассмотрим формулу «суммы», где  а .       .

Итак, сумма нечётных чисел  и  при чётных и  имеет только один множитель 2.  

Рассмотрим формулу «разности» при чётных   и   .   .

Следовательно, разность нечётных чисел  и  при чётных  и  содержит множителем минимум число 4.

Случай 2.  и  – нечётные, ;    «Сумма» выглядит так:   . Сумма в этом случае имеет множителем только одно число 2.

Рассмотрим формулу «разности»:  . То есть разность содержит множителем минимум число 4.

Случай 3.  «Сумма»:  . Множитель суммы минимум число 4.

«Разность»:  Множитель- одно число 2.

Случай 4.  – нечётное ( «Сумма»:   Множитель минимум число 4.

«Разность»:  Множитель – одно число 2.

Итак, посыл обоснован.

Особое место при этом занимает уравнение , где квадрат чётного числа пифагоровой тройки, имеющей множителем число 4, можно выразить числом, содержащим множитель . То есть случаи целочисленных решений уравнения попадают под выше обозначенное условие о разложении разности квадратов двух нечётных чисел на произведение суммы и разности этих двух чисел. Строго говоря, формула  для простейшей пифагоровой тройки должна выглядеть так: . Подразумевая Y чётным числом, а именно: .

Рассмотрим порядок выделения множителей числа  и нечётных чисел Z, X пифагоровой тройки (5, 12, 13). [1]

Имеем: . Преобразуем данное выражение и разложим на множители.

. (2)

 (4)

Первый множитель числа Y -  содержит только одно число 2, но второй множитель -  содержит множитель .

Сложим левые части ф. (4) и ф. (3), а также правые части ф. (4) и ф. (3).

 (5)

Вычтем почленно ф. (4) из ф. (3).

 (6)

Нужно обратить внимание, что чётное число  потеряло две двойки, т. е.  при разложении уравнения (2) на множители, (см. (3) и (4)), и выделении нечётных чисел уравнения (см. (5) и (6)). Из ф. (5) и ф. (6) видно, что первое нечётное число Z является половиной суммы множителей чётного числа , а второе нечётное число X – половиной разности этих же чисел.

Вариантов разложения чётного числа в степени n по формуле разности квадратов двух нечётных чисел может быть столько, сколько возможно сочетаний пар множителей числа, соответствующих этому условию. Для каждой пары возможен один вариант такого разложения. И множители разложения не должны иметь общего делителя, кроме числа 2, как в данном случае, поскольку числа уравнения (1) имели бы общий делитель. Это общее правило разложения чётного числа в степени n>2, по формуле разности квадратов двух нечётных чисел, если множители разложения не имеют общего делителя кроме как чисел 2 и  а вторые составляющие этих множителей должны быть в степени n.

Рассмотрим доказательство теоремы Ферма со случая чётного n >3.

Имеем:

 или

. (7)

Уравнение (7) можно рассматривать как выражение чётного числа  разностью квадратов двух нечётных чисел при  а именно:

Итак: n > 3 - чётное, ( – числа взаимно простые,  Y – чётное число. О чётном Z - ниже. Разложим уравнение (7) на множители.

 (8)  (9)       Так как n число чётное, то показатель  целое число, а множители числа , где (,  должны быть в степени n, иначе у чисел Z и X был бы общий множитель. (См. ф. (5) и ф. (6).) Произведём вычитание правой и, соответственно, левой частей ф. (8) из правой и левой частей ф. (9).

 (9)

 (8)

Имеем:

 (10)

Формулу (10) нужно рассматривать как вариант формулы разности n-х степеней, [2] из которой следует, что число  , а также , не являются степенями целого числа, а уравнение (7) не имеет целочисленных решений при чётных показателях степени n. Разложим уравнение (10) на множители.

 (11)

Из разложения следует, что множители числа не могут быть целочисленными.

Сложим левые части ф. (8) и ф. (9) и, соответственно, их правые части.

Имеем:  

Очевидно также, что разложение на множители уравнения, как суммы n – х степеней, не даёт целочисленных значений.

(При этом надо заметить, что значение суммы и значение разности ф. (8) и ф. (9) могут быть противоположными, что не меняет сути доказательства.)

Вернёмся к пифагоровой тройке из-за особенности этого частного случая. Рассмотрим тот же вариант (5, 12, 13), упомянутый ранее, где было показано, что квадратное уравнение для неё может выглядеть так:  при   

 (1a)

Разложим уравнение (1а) на множители.

 (2a)

 (3a)

В результате, один множитель  чётного числа Y поделен пополам между множителями разложения  Т. е. уравнение (1а) можно записать так:

 (4a)

Далее, при выделении нечётных чисел разности квадратов Z и X эти два числа теряются. (См. (5) и (6)). Т. е. потеря того «лишнего» числа  обеспечила целочисленное решение пифагоровой тройки. Тот же результат: потеря числа  наблюдается при разложении на множители уравнения (7) для чётных показателей n. (См. (10) и (11а)). Предположим, что для целочисленного решения уравнения (7), чётному  нужно добавить множитель  . А именно:

 (5a)

Разложим на множители уравнение (5а).

 (6a)

 (7a)

В уравнении (6а) число  нечётное, а число  чётное. Сложим левые, отдельно, и правые, отдельно, части формул (6а) и (7а).

 (8a)

Вычтем из левой части ф. (6а) левую часть ф. (7а), а из правой части ф. (6а) правую часть ф. (7а).

 (9a)

Разложим уравнение (9а) на множители.

  Очевидно, что уравнения (8а) и (9а) допускают целочисленные решения, и целочисленные решения уравнения  при чётном n возможны только при виде уравнения в следующей форме, а именно:

 (10а)

Выясним возможность целочисленных решений уравнения  при нечётных показателях  . Имеем:

. (12)

Отметим прежде, что Z, X – числа нечётные, а Y – число чётное. Кроме того установлено, что любое чётное число, имеющее множителем  при n>2, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Выразим  нечётной степенью чётного числа: . Представим его разностью квадратов нечётных чисел.

 (13)

Примем

(14)

 (15)

Сложим левые части уравнений (14) и (15), а также правые их части.

 и  (16)

Вычтем левую часть уравнения (15) из левой части уравнения (14), правую из правой части. Аналогично (16) имеем:

 (17)

Из уравнения (17) следует, что невозможно целочисленное разложение его на множители, соответствующее разложению по формуле разности n – х степеней, поэтому невозможно и целочисленное решение уравнения (1).  

Выразим число  разностью квадратов и произведём разложение на множители и выделение нечётных чисел разности квадратов его выражающих.

1 - е число. (18)

2 - е число. (19)

Из уравнений (16) и (17), а также (18) и (19) видно, что при разложении на множители и выделении нечётных чисел соответствующих разности квадратов числа , и числа , то есть чётного числа в нечётной степени так же, как и в чётной степени, теряются две двойки,  Это значит, что формула  (10a) применима и в случае нечётных n, т. е. исходное уравнение имеет целочисленные решения только в виде (10а).

Предположим, что X и Y - нечётные числа, а Z - число чётное, n - нечётное Представим чётное число  разностью квадратов.

 (20)

Уравнение (20) аналогично уравнению (13), аналогично и доказательство невозможности целочисленных решений уравнения (20) как и уравнения (13).

Следовательно, при чётном Z и нечётном n уравнение (12) не имеет решений в целых числах.

Ранее в доказательстве не был рассмотрен вариант чётного Z при чётном n. Поскольку уравнение  при чётном n можно рассматривать как сумму квадратов - слева и как квадрат чётного числа – справа, а так как известно, что они неравны, то это значит, что чётное Z при чётном n в уравнении (1) невозможно.

Итак, доказано, что уравнение  при натуральных X, Y, Z, n не имеет решений в целых числах.

Список литературы:

1. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959.
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика, Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990.