ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ОДНОГО ИЗ ТИПОВ ДО СИХ ПОР НЕРЕШЕННЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ N >3 (ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АСПЕКТ)
ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ОДНОГО ИЗ ТИПОВ ДО СИХ ПОР НЕРЕШЕННЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ N >3 (ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АСПЕКТ)
Тынт Рувим Шмулевич
специалист по теории чисел,
Израиль, г. Нешер
АННОТАЦИЯ
Предложен вариант решения в натуральных числах одного из типов до сих пор нерешенных диофантовых уравнений для n
3 и вытекающие из этого примеры решений ряда уравнений.
Ключевые слова: решения, нерешенных, до сих пор, уравнений.
§ 1
Решение
1.1. В [1, с.26, п.п.1.2.1.,1.2.2], можно принять, использовав тождество:
1) (
.
+
.
(
-.
(.
+
+(.-.
+
) ( 1), ,,,- произвольные натуральные числа;
2)
=
=[ 
(
+
+
] =
=[ (+-
], 
- произвольные натуральные числа, k=(
.
2.1.Тогда, получим:
]+[(+
]
+(
[
(+
]+[(+ 
]
[(+
+ [(
(2),
т.е. бесчисленное множество решений уравнения 
+
(3).
При этом 
=
Вариант: 
.u , 
=
.u. ,где
u-произвольные натуральные числа.
3.1. Получено равенство:
(145.148+73.48
+(145.73-148.48= (145.73+148.48+(145.148-73.48
(4),
[ 
(
+
(
=
=(
+
(
](5)[2 ,стр.58,п.13.3 ].
3.2. Из (4) при 
=
.3 =
.37 =73 имеем:
(
+
)=(
-
) (
(-)=(+) (5.29)(
(
(-)=(-) (73)(
)
+
3.3. Поскольку, как следует из (1)и (5),
+
= -=,
+
=
-=,
2
-=2
=2
-=2 ,
то (
-
)(
-
)=(
(6).
3.3. (+)(+)=(
+(
+(
=(+
.
(635318657= (21172
+(21014+(7906+(7847 (7).
4.1. И т.д. и т.п. и для произвольного натурального n, используя упомянутые в пункте 1 тождества.
§2
1.Из (1) получено тождество (8):
(+
+(
+(+
(
+
)(
) (1)
(--(-(+-(
(-)(
) (8).
1.2. (
-
-(
-
+
+
(
-
)(
-
) (9). Таким образом, умножением (1) на (8) и сравнением с (9)
установлено новое свойство алгебраической (арифметической) операции, т.е. равенство (a-b)(a+b)=
-
не является абсолютным (противоречие).
Но чтобы восстановить справедливость, надо при проведении вышеуказанной операции изменить знак на обратный в (8) перед .
Но и без замены знака все остается верным.
1.3. Тогда из (8):
(
-
-(
-
+-(+
(
-
)(
-
)(2).
1-ый вариант, когда -
-=
=
+
=-
=2
=
+
=-
=2
(
=(-)(-) и 
,
,
-произвольные натуральные числа.
2-ой вариант, когда 
=. Из 1-ого варианта ,2=2 .
И
=a =bc 
=b =ac. Тогда, -=- .
1.4. Имеем тождество: (4uv
(uс+v
-
{[
} 10). При этом -
- . Но в этом случае 
-
- из-за того, что, +
+ ,или должно быть += и 
+=. Но в этом случае непрерывный по своей сути процесс получения «пифагоровых» троек при u=2c- в 1-ом случае, и u=2v-во 2-ом, перестает быть непрерывным -прерывается; c и v – произвольные натуральные числа. Это следует из вытекающих из (10) тождеств:
( 4u
+(4
-
(4+
(4uv+(4
(4
+
в частности, не имея ввиду классический случай.
+
=
+
при c=v.
Кстати, при преобразованиях из 1-ого тождества исчезло v, а из 2-го-c.
§3
1. Во [2, с.47], решая уравнение 
(
-
)(
-
) (11), со времен Эйлера находили только частные его решения в натуральных числах.
1.1. Получено тождество, дающее бесчисленное множество его решений в натуральных числах при произвольных значениях в натуральных числах его параметров, которое приводится ниже. Из (10),
[(
+
[(
–(
-
(
(
+
)(
+
) 
(12).
1.2. Для решений уравнений +=
где 
,
используем метод «карусели», приведенный в [3, с. 31, параграф 1];
+)(+)=(
(13).
1.3. При 
= это возможно только при c=v, или u=1 при целочисленных c, u, v,,. Тогда, при u=1 +=
(14); и т.д. и т.п. Тогда, например, при u=1
[(
-(-
].[(
-(-
]
[8
+)
(14).
1.4. При c=3 v=2 (
-
)[-(-5]=(8.9.4.97=(27936.
t=27936 f=13 k=5 g=13 h=-5 2x= (+)(+)=(+)[ +(-5]= (29186
2.425911298
2y=
= (27936
[2.13.13.(-5).5
(-8450
=2.393801298
2z=
-(2fghk= (27936-(8450=2.425911298
y+z==(27936
y-z=(2fghk=(8450
x+z=(
-
=[
-
(-5
(-
x-z=(
+
=[
+
=(2.
. В этом варианте
(y+z+(y-z=(x+z+(x-z=(27936+(8450=(-
+(2.65
x+y=[(+
=(29186
x-y=(
=(27936.
2. В тождестве (
)(-)
1. f-k=
f=
2. f+k=
k= 
2.1. 
, должны быть 1) – оба четными, или нечетными, в произвольных натуральных числах; 2)
должны быть четными.
3. Рассмотрим трехчлен (+)(+
+(-
-)
(2fgkh
2(
)
2(
=2x2y (15) при произвольных натуральных числах f,k,g,h. А дальше используется
уравнение (11).
4. Без (11) общую задачу теперь можно сформулировать следующим образом: составить, например, из четырех произвольных натуральных чисел
соответствующие их комбинации таким образом, чтобы сумма и разность
соответствующих пар была тождественно равна квадрату натурального числа:
1)(
2)(
3)(
(
,
5)(
6)(
7)(
8)(
,
(можно продолжать до бесконечности), изменяя соответствующим образом (15).
Список литературы:
- Р. Тынт, «Два варианта решения 10-ой проблемы Гильберта» (элементарный аспект), «Интернаука», №10(280), часть 1, Москва, 2023. DOI: 10.32743/26870142.2023.10.280.35371
- В. Серпинский, «О решении уравнений в целых числах». Госфизматгиз, Москва,1961.
- Р.Ш. Тынт, «Общий метод нахождения бесчисленного множества целочисленных решений ряда нерешенных до сих диофантовых уравнений, в частности, «Великой» теоремы Ферма, используя «карусель» поэтапных степенных итераций» (элементарный аспект), «Интернаука», №3(273), ч.1, Москва, 2023.DOI:10.32743/26870142.2023.3.273.351533