ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ТЕЛ ОДНОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, А ТАКЖЕ НА ДВУХ ПОВЕРХНОСТЯХ ДЛЯ ПЛОСКОГО ТЕЛА, ПОЛОГО ЦИЛИНДРА И ПОЛОЙ СФЕРЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ЗАМКНУТОЙ РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМЕ

ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ТЕЛ ОДНОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, А ТАКЖЕ НА ДВУХ ПОВЕРХНОСТЯХ ДЛЯ ПЛОСКОГО ТЕЛА, ПОЛОГО ЦИЛИНДРА И ПОЛОЙ СФЕРЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ЗАМКНУТОЙ РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМЕ

Лобанов Игорь Евгеньевич

 

1. Введение. Актуальность применения обратных задач теплопроводности и теплообмена

Прямое математическое моделирование позволяет прогнозировать тепловое состояние широком диапазоне режимов работы, например, технической системы, провести анализ влияния различных факторов на поведение этой системы и выбрать оптимальные тепловые режимы. Применение прямых методов математического моделирования требует анализа точности математических моделей. Модель может иметь весьма сложную структуру и учитывать достаточно большое число факторов. Однако при этом необходимо задать числовые значения всех входящих в модель характеристик, в частности, теплофизические свойства материалов, характеристики теплового взаимодействия с омывающей средой и др. Если информация отсутствует или имеет низкую точность, то сложная математическая модель утрачивает свои достоинства и не обеспечивает требуемой точности прогноза тепловых режимов. Практическое применение математического моделирования теплообмена показывает, что возможная неудовлетворительная точность при математическом моделировании, например, высокоинтенсивных тепловых процессов обусловлена низкой точностью определения характеристик с помощью традиционных прямых методов [19]. B таких случаях весьма действенно может быть применение расчётно-экспериментальных методов, которые базируются на принципах идентификации систем с распределёнными параметрами, основу которых составляют алгоритмы и методы решения различных типов некорректных обратных задач теплообмена [19].

Как известно, в прямых задачах искомым является температурное поле, которое находится как решение уравнения теплопроводности с известными параметрами внутреннего переноса, соответствующее известным краевым и начальному условиям, а в обратных задачах теплопроводности начальное распределение температур и краевые условия являются неизвестными, подлежащими определению функциями. Обратные задачи подразделяются на два основных типа: а) определение параметров внутреннего переноса энергии — коэффициентов тепло- и температуропроводности, теплоёмкости, коэффициентов поглощения света и т.п., являющимися физическими характеристиками вещества; б) определение условий внешнего обмена энергией между телом и средой, т.е. нахождение граничных условий: сюда относятся вычисление температуры наружной поверхности и проходящего через неё теплового потока, расчёт переменных коэффициентов теплообмена, термических контактных сопротивлений, степеней черноты, угловых коэффициентов облучения, положения поверхности фазового перехода или деструкции, составление нестационарных балансов мощности и энергии и т.п. [19]. Понятно, что получить решение обратной задачи теплопроводности гораздо сложнее, чем прямой, однако в прямой задаче при измерении или реализации заданных граничных условий может возникнуть много препятствий экспериментального характера. Физические условия бывают, например, таковыми, что практически не всегда возможна установка датчика на поверхности тела или существенно снижается точность измерений, вследствие размещения датчиков. Следовательно, часто трудно измерить закон изменения температуры нагреваемой поверхности твёрдого тела. Гораздо проще выполнить достаточно точные измерения временных зависимостей температуры во внутренних точках на теплоизолированной поверхности тела. Т.o., возникает проблема выбора между относительно неточными измерениями и сложной аналитической задачей. В то же время достаточно точное и легко реализуемое решение обратной задачи позволило бы одновременно свести обе трудности к минимуму [19]. Прямая задача теплопроводности при корректно поставленных условиях имеет единственное решение. В случае обратных задач возможна тождественность температурных полей в результате различных по своей природе, но равноценных в энергетическом отношении внешних воздействий [5, 6, 19]. Температурное поле твёрдого тела не определяет однозначно граничных условий, при которых оно возникло. Целый ряд энергетически равноценных по своим воздействиям на систему граничных условий могут по-разному отражать сложные температурные процессы. Примером может служить тот факт, что любое перераспределение плотностей тепловых потоков, например, между конвективными и радиационными составляющими при их совокупности приводит к тождественному тепловому состоянию системы [19]. Имеют место и другие недостатки, присущие обратным методам исследования нестационарного теплообмена в технических системах: ограничение числа точек в деталях, в которых измеряются температуры и тепловые потоки; экспериментально определённые значения температур и тепловые потоки, на основе которых производятся расчёты, содержат погрешности измерения даже при использовании прецизионных приборов, т.к. размещение датчиков в твёрдом теле в какой-то мере нарушает температурное поле деталей; кривизна поверхности, пространственное и временное изменение тепловых потоков в теле не дают возможности точно предсказать направление теплового потока, или иными словами, определить месторасположение датчика, которое должно находиться на нормали к поверхности. Следует отметить, что обратные методы не дают возможности физической интерпретации нестационарных сложных процессов, протекающих в системах. Кроме недостатков, в том числе вышеуказанных, обратные методы обладают некоторыми преимуществами, по сравнению с прямыми. В прямой задаче при измерении или реализации заданных граничных условий может возникнуть много препятствий экспериментального характера. Физические условия в исследуемых системах могут быть такими, что невозможна установка датчика на поверхности тела (например, на поверхности покрытий) или существенно снижается точность измерений вследствие размещения датчиков, поэтому часто трудно измерить закон изменения температур и тепловых потоков поверхностей твёрдых тел. Резюмируя вышеизложенное, можно заключить, что имеет место актуальность получения в едином виде точного замкнутого аналитического решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной или на двух поверхностях.

Практическое применение в авиационной и ракетно-космической технике может быть реализовано при расчётах в целях нестационарной теплометрии и управления тепловыми нагрузками, идентификации процессов теплообмена в применяемых технических устройствах; оптимизацией проектных решений с учётом тепловых ограничений (напр., при расчёте холодильников-излучателей).

В исследования точное замкнутое аналитическое решение данной обратной задачи теплопроводности достигается в рекуррентной форме, т.е. в неявной форме, поскольку это не во всех случаях возможно в явной форме [2—6].

2. Решения в рекуррентной форме для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности

Существующие точные решения обратных задач нестационарной теплопроводности относительно немногочисленны, и их ощутимо меньше, чем соответствующих решений прямой задачи нестационарной теплопроводности. Можно указать, что одна из первых удачных попыток решения обратной задачи нестационарной теплопроводности для плоского тела впервые была предпринята в 1890 г. Й.Стефаном [1]. Впоследствии для одномерной линейной обратной нестационарной задачи теплопроводности были получены решения независимым друг от друга образом О.Р.Бургграфом [2] и Д.Лэнгфордом [3] в предположении известности в точке расположения датчика нестационарных плотности теплового потока и температуры. Точные решения для полей температур по заранее известным температурам в двух разных внутренних точках методом интегрального преобразования Лапласа были получены М.Имбером и Д.Кханом [4]. Аналогичные решения для одномерных тел приведены также в работах [5] и [6], в которых решения для нестационарной температуры приводятся в явном виде, а плотность теплового потока детерминировалась дифференцированием полей температур. В дальнейшем были получены решения сходных задач, отчасти имеющих не только теоретический, но и прикладной характер, в том числе, и нелинейной одномерной задачи нестационарной теплопроводности [7—19]. Как отчасти указывалось в работах [2—6], выражение решений для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии в явной форме возможно не во всех случаях, поэтому в целях получения окончательного решения приходится применять дополнительные допущения, например, как в [2], где используется допущение о тонкой стенке. Целью исследования является получить решение нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности с единых позиций в замкнутой рекуррентной форме, которые будут иметь перед решениями в явном виде определённые преимущества, поскольку они могут быть получены для всех вышеуказанных задач, а в явном виде — не для всех. За­пи­шем урав­не­ние не­ли­ней­ной не­ста­цио­нар­ной те­п­ло­про­вод­но­сти для те­ла од­но­мер­ной гео­мет­рии и постоянной кривизны (в данном случае рассматривается радиальная координата) в сле­дую­щем ви­де [5]:

  ,             (1)

где k — число конечных измерений: 1 — плоское поле; 2 — цилиндрическое; 3 — сферическое; t — температура; r — радиальная координата; а — коэффициент температуропроводности. Область определения дифференциального уравнения (1) заключена от 0 до r₂ (радиальная координата внешней поверхности) по координате (в случае полых тел: от r₁ (радиальная координата внутренней поверхности) до r₂) и от 0 до текущего значения t по времени (t >0). В безразмерном виде данное уравнение можно записать следующим образом [5]:

 ,                        (2)

где  — критерий Фурье; T — безразмерная температура; ρ=r/r₁ — безразмерная координата; r₁ —радиальная координата, на которой заданы граничные условия. Обратная задача теплопроводности для уравнения (1) или (2) состоит в нахождении граничных условий на поверхности одномерного тела при известных нестационарных температуре и тепловому потоку и теплофизических характеристиках материала тела, не зависящих от температуры. В исследовании изучается процесс теплопроводности в момент, достаточно удаленный от начального момента времени, поэтому влияние начальных условий практически не сказывается на распределении температуры в момент измерения или наблюдения (т.н. "задача без начальных условий"). В практическом разрезе это может означать, что при достаточном удалении от начального момента времени компонента последействия, учитывающая влияние начальных условий, становиться настолько малой, что она будет уже меньше погрешности измерения датчиков, измеряющих температуры и тепловые потоки [5, 6]. Компонента воздействия температурного поля одномерного слоя, который подогревается на внутренней поверхности, рассматривается при использовании безразмерной координаты, для которой подогреваемая поверхность соответствует единичному значению (комплекс гомохронности относится к данной внутренней радиальной координате), может быть представлена в следующем виде [5]:

где  — критерий Кирпичёва;  — критерий Фурье; ρ=r/r₁ — безразмерная координата; r₁ —радиальная координата, на которой заданы граничные условия; а — коэффициент температуропроводности; λ — коэффициент теплопроводности; q — плотность теплового потока; Δt — разность температур. На подогреваемой поверхности имеет место граничное условие второго рода. В данном случае плотность теплового потока и температура измеряются на одной и той же поверхности. Решения для тел простой конфигурации будут отличаться значениями радиальных квазиполиномов Р_n,1 и Р_n,2. В рамках данной работы эти квазиполиномы будут решены в рекуррентных формах, в отличие от работ [2—6] и [7—19].

2.1. Плоская пластина

Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для плоской пластины будут следующими:

;                    (4)

 ;                    (5)

                          (6)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 и т.д., Р_1,2 и Р_2,2 и т.д. для плоской пластины можно записать:

                  (7)

                 (8)

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничных условий на одной и той же поверхности для плоской пластины в рекуррентной форме:

                         (9)

                        (10)

2.2. Сплошной цилиндр

Квазиполиномы Р_n,1 для сплошного цилиндра будут следующими:

 ;                     (11)

                              (12)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 и т.д. для сплошного цилиндра можно записать:

              (13)

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на оси cплошного цилиндра в рекуррентной форме:

                        (14)

2.3. Полый цилиндр

Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для полого цилиндра будут следующими:

  ;                   (15)

  ;                   (16)

                      (17)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 , Р_1,2 и Р_2,2 и т.д. для полого цилиндра можно записать:

           (18)

  (19)

  

              (20)

  

       (21)

   

   ; ...; ...; (22)

                                             
                       (23)

 

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого цилиндра в рекуррентной форме:

2.4. Сплошной шар

Квазиполиномы Р_n,1 для cплошного шара будут следующими:

 ;                     (26)

                                (27)

Для первых квазиполиномов Р_n,1 и т.д. для сплошного шара можно записать:

               (28)

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия в центре сплошного шара в рекуррентной форме:

 .                     (29)

2.5. Полый шар

Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для полого шара будут следующими:

;                  (30)

 ;                 (31)

                       (32)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 , Р_1,2 и Р_2,2 и т.д. для полого шара можно записать:

     (33)

              (34)

   (35)

Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого шара в рекуррентной форме:

  .            (36)

  .                 (37)

Для заданных нестационарных граничных условий на oдной поверхности Θ_n,1 и Θ_n,2 рекуррентные соотношения будут следующими:

.                     (38)

Вышеприведённые соотношения выражают рекуррентную форму точного решения обратной задачи нестационарной теплопроводности для тел одномерной геометрии при нестационарных граничных условиях, заданных на одной стороне. Рекуррентная форма записи решения позволяет осуществить решение данной задачи с единых позиций в замкнутой форме, поскольку выражение решений в явной форме, как, например в [7—19], возможно не во всех случаях, на что указано в [2, 5, 6]. Вопросы корректности данной обратной задачи теплопроводности (т.е. существования решения, его единственности и его устойчивости) были подробно рассмотрены в работах [5, 6], поэтому в данном исследовании нет необходимости их повторного рассмотрения. Вышеуказанные полученные в работе решения нестационарной обратной задачи теплопроводности для одномерных тел были успешно практическим образом применены в качестве составной части сопряжённой задачи при детерминировании максимального воздействия слоя нагара на поверхности камеры сгорания на нестационарные параметры рабочего тела при радиационно-конвективном теплообмене [20—22], а также при разработке теории теплообмена в теплоизоляционной упаковке для стабилизации температурных режимов хранения скоропортящихся продуктов [23—24]. Для условий теплообмена, характерных для работ [23—24], были проведены расчёты по зависимостям, сгенерированным в этом исследовании. При одинаковом температурном граничном условии наибольшее отклонение будет для плоского тела, а наименьшее — для сплошного шара; для сплошного цилиндра будет иметь место промежуточное значение. Как для полого цилиндра, так и для полого шара отклонение температуры будет бóльшим, чем для сплошных цилиндра и шара соответственно. Сравнение полого цилиндра с полым шаром показывает, что при малых значениях r₂/r₁ отклонение для полого цилиндра будет меньше, чем для полого шара, но для больших значений r₂/r₁ отклонение для полого цилиндра уже будет больше, чем для полого шара. Для рассматриваемых в [23—24] условиях вышеуказанный перелом происходит при значении r₂/r₁ ≈ 3 ²/₁₅. Анализ проведённых расчётов указывает на более сильную зависимость расчётной температуры от параметра r₂/r₁ для полого шара, чем для полого цилиндра.

3. Решения в рекуррентной форме для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными температурными условиями на обеих поверхностях

Температурные поля полых цилиндра и сферы, пластины, грани которых находятся в различных средах, являются асимметричными, но одномерными. Асимметричное температурное поле получается по измерениям температур на границах тела, которые должны быть заранее известными функциями времени. Компонента воздействия температурного поля одномерного слоя, на границах которого имеют место нестационарные температурные границы, рассматривается при использовании безразмерной координаты: первая точка принимается за начало координат, а вторая имеет единичную абсциссу (для плоского поля); первая точка имеет единичную абсциссу, а вторая имеет точку ρ₂ (для сферического и цилиндрического полей); может быть представлена в следующем виде [5]:

На обеих поверхностях имеет место граничное условие первого рода. В данном случае температуры измеряются на граничных поверхностях. Решения для тел простой конфигурации будут отличаться значениями радиальных квазиполиномов Р_n,1 и Р_n,2. В рамках данной работы эти квазиполиномы будут решены в рекуррентных формах, в отличие от работ [2—6] и [7—19].

3.1. Решения в рекуррентной форме для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для плоских пластин и полых шаров (тел одномерной геометрии) с граничными температурными условиями на обеих поверхностях без использования чисел Бернулли

В данном разделе ставится задача получения данных рекуррентных решений без применения чисел Бернулли B_n, но с применением метода решения на основе рекуррентных зависимостей, которые аналогичным образом используются как для плоского, цилиндрического и сферического полей.

3.1.1. Плоская пластина (peшение без использования чисел Бернулли B_n)

Kвазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для плоской пластины в рекуррентной форме получаются, исходя из решений, полученных для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на "внутренней" поверхности плоской пластины, т.е. формул (9) и (10). Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для плоской пластины будут следующими:

 ;            (40)

 ;             (41)

                        (42)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 , Р_1,2 и Р_2,2 и т.д. для плоской пластины можно записать:

                      (43)

                 (44)

           (45)

  (46)

                            (47)

                     (48)

              (49)

  (50)

Здесь удобно ввести локальные обозначения, cправедливые только для данного параграфа, чтобы в дальнейшем избежать разночтений при решении задачи:

                         (51)

                         (52)

Иными словами, функциями F_n,1 и F_n,2 в рамках данного параграфа обозначаются квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности плоской пластины из формул (9) и (10) соответственно. Сначала решим задачу для Р_n,2, поскольку она проще, чем для Р_n,1; решение первой задачи будет взята за основу для решения второй задачи. Перепишем антилапласианы Р_1,2 в следующем виде:

 ;      (53)

В целях получения рекуррентного решения данной задачи перепишем последнее выражение следующим образом:

 ,                    (54)

где  . Последующие антилапласианы для квазиполиномов Р_n,2 будут такими:

   ,              (55)

где ;

  ,     (56)

где ;

, ...; ...;  (57)

где .

Следовательно, антилапласианы n-oй степени для квазиполиномов Р_n,2 можно записать в следующем виде:

Как видно из формулы (58), для её решения используется как "прямая" рекуррентность, т.е. использование при выводе для текущего члена ряда предыдущих членов ряда, так и "частичная" рекуррентность, т.е. использование при выводе для текущего члена части этого же члена ряда. Teперь следует детерминировать функцию Φ_i,2. Для этого следует формализировать форму для них. Перепишем уравнение (54) для Φ_1,2 в виде, характерном для бóльших значений параметра i, а именно:

 .                    (59)

Чтобы выражение Φ_1,2 из формулы (59) было тождественно равно его определению из (54), необходимо (поскольку F_{0,2 ­­}= ρ), чтобы:

.                         (60)

 После последней формализации можно записать замкнутое выражение для Φ_i,2:

Таким образом, выражения (58), (61), (60) дают точное решение задачи о квазиполиномах для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для плоской пластины в рекуррентной форме. Как видно, в решении для функций Φ_i,2 формально присутствуют члены с  Очевидно, что все этих членов нет, например, в (54)—(58). Это вполне естественно, поскольку в принятом представлении (59) для Φ_i,2 данные члены фиктивны и равны (поскольку ) нулю:  В решении для Р_n,2 (58) отсутствуют члены с Φ_0,2, но имеются члены с F_0,2. В решении для Φ_i,2 (61) отсутствуют члены с F_0,2, но формально присутствуют члены с , тождественно равные нулю. Теперь следует получить решение для квазиполиномов Р_n,1 , используя вышеприведённый метод решения и основываясь на уже имеющихся решениях для Р_n,2, F_n,1, F_n,2. Cложение (40) и (41) для первых членов даёт следующее выражение:

  

 ,         (62)

где _. В дальнейшем для Р_n,1 поступим таким же образом, как и при решении для квазиполиномов Р_n,2, а именно:

 ,                 (63)

где  . Последующие антилапласианы для квазиполиномов Р_n,1 будут такими:

  ,         (64)

где  ;

                   ,  (65)

где  ;

                      

                                     , ..., ...,                    (66)

где . Следовательно, антилапласианы n-oй степени для квазиполиномов Р_n,1 можно записать в следующем виде:

Teперь следует детерминировать функцию Φ_i,1. Для этого следует формализировать форму для них. Перепишем уравнение (67) для Φ_1,1 в виде, характерном для бóльших значений параметра i, а именно:

.                    (68)

Чтобы выражение Φ_1,1 из формулы (68) было тождественно равно его определению из (62), необходимо (поскольку F_{0,2 ­­}= ρ), чтобы:

 .                          (69)

После последней формализации можно записать замкнутое выражение для Φ_i,1:

Таким образом, выражения (67), (70), (69) дают точное решение задачи о квазиполиномах для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для плоской пластины в рекуррентной форме. Как видно, в решении для функций Φ_i,1 формально присутствуют члены с  Очевидно, что все этих членов нет, например, в (62)—(70). Это вполне естественно, поскольку в принятом представлении (70) для Φ_i,1 данные члены фиктивны и равны (поскольку ) нулю:  В решении для Р_n,1 (67) отсутствуют члены с Φ_0,1, но имеются члены с F_0,2. В решении для Φ_i,1 (70) отсутствуют члены с F_0,2, но формально присутствуют члены с , тождественно равные нулю. В принципе, задача точного решения квазиполиномов Р_n,2 — (58), (61), (60) — и Р_n,1 — (67), (70), (69) — для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для плоской пластины в рекуррентной форме может быть закончена. Oднако, можно записать эти решения в объединённой форме, для чего следует переписать в соответствующей форме ряды для Φ_i,1 и Φ_i,2 из формул (61) и (70) соответственно:

В объeдинённой форме точные решения данной задачи (для Р_n,1 — (67) и для Р_n,2 — (58)) будут выглядеть следующим образом:

 

3.1.2. Полый цилиндр

Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для полого цилиндра будут следующими:

 ;         (75)

 ;        (76)

                      (77)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 , Р_1,2 и Р_2,2 и т.д. для полого цилиндра можно записать:

                                                           

           ;  (78)

 

; ...; ...; .             (79)

 ;(80)

                                   

; ...; ...; . (81)

Kвазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого цилиндра в рекуррентной форме получаются нижеследующим образом, исходя из решений, полученных для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого цилиндра, т.е. формул (24) и (25). Здесь удобно ввести локальные обозначения, cправедливые только для данного параграфа, чтобы в дальнейшем избежать разночтений при решении задачи:

                          (82)

                           (83)

Иными словами, функциями F_n,1 и F_n,2 в рамках данного параграфа обозначаются квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого цилиндра из формул (24) и (25) соответственно. Сначала решим задачу для Р_n,2, поскольку она проще, чем для Р_n,1; решение первой задачи будет основой для решения второй задачи. Очевидно, что:

                            (84)

Перепишем антилапласианы Р_1,2 в следующем виде:

                      

                     ;                 (85)

В целях получения рекуррентного решения данной задачи перепишем последнее выражение следующим образом:

  ,               (86)

где  . Последующие антилапласианы для квазиполиномов Р_n,2 будут такими:

                         ,    (87)

где  ;

   , (88)

где  ;

      

                                 , ...; ...;                       (89)

где . Следовательно, антилапласианы n-oй степени для квазиполиномов Р_n,2 можно записать в следующем виде:

         Как видно из формулы (90), для её решения используется как "прямая" рекуррентность, т.е. использование при выводе для текущего члена ряда предыдущих членов ряда, так и "частичная" рекуррентность, т.е. использование при выводе для текущего члена части этого же члена ряда. Teперь следует детерминировать функцию Φ_i,2. Для этого следует формализировать форму для них. Перепишем уравнение (86) для Φ_1,2 в виде, характерном для бóльших значений параметра i, а именно:

                               .               (91)

         Чтобы выражение Φ_1,2 из формулы (91) было тождественно равно его определению из (86), необходимо (поскольку F_{0,2 ­­}= ln ρ), чтобы:

                            .                          (92)

После последней формализации можно записать замкнутое выражение для Φ_i,2:

Таким образом, выражения (90), (93), (92) дают точное решение задачи о квазиполиномах для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого цилиндра в рекуррентной форме. Как видно, в решении для функций Φ_i,2 формально присутствуют члены с  Очевидно, что все этих членов нет, например, в (84)—(90). Это вполне естественно, поскольку в принятом представлении (93) для Φ_i,2 данные члены фиктивны и равны (поскольку ) нулю:  В решении для Р_n,2 (90) отсутствуют члены с Φ_0,2, но имеются члены с F_0,2. В решении для Φ_i,2 (93) отсутствуют члены с F_0,2, но формально присутствуют члены с , тождественно равные нулю.     Теперь следует получить решение для квазиполиномов Р_n,1 , используя вышеприведённый метод решения и основываясь на уже имеющихся решениях для Р_n,2, F_n,1, F_n,2. Очевидно, что:

                                                        (94)

Cложение (75) и (76) для первых членов даёт следующее выражение:

.    (95)

В дальнейшем для Р_n,1 поступим таким же образом, как и при решении для квазиполиномов Р_n,2, а именно:

                            ,                (96)

где  . Последующие антилапласианы для квазиполиномов Р_n,1 будут такими:

                    ,    (97)

где  ;

(98)

где  ;

               

                    , ..., ...,                   (99)

где .

Следовательно, антилапласианы n-oй степени для квазиполиномов Р_n,1 можно записать в следующем виде:

Teперь следует детерминировать функцию Φ_i,1. Для этого следует формализировать форму для них. Перепишем уравнение (96) для Φ_1,1 в виде, характерном для бóльших значений параметра i, а именно:

                                 .                 (101)

Чтобы выражение Φ_1,1 из формулы (101) было тождественно равно его определению из (96), необходимо (поскольку F_{0,2 ­­}= ln ρ), чтобы:

                            .                        (102)

После последней формализации можно записать замкнутое выражение для Φ_i,1:

Таким образом, выражения (100), (103), (102) дают точное решение задачи о квазиполиномах для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого цилиндра в рекуррентной форме. Как видно, в решении для функций Φ_i,1 формально присутствуют члены с  Очевидно, что все этих членов нет, например, в (94)—(103). Это вполне естественно, поскольку в принятом представлении (103) для Φ_i,1 данные члены фиктивны и равны (поскольку ) нулю:  В решении для Р_n,1 (100) отсутствуют члены с Φ_0,1, но имеются члены с F_0,2. В решении для Φ_i,1 (103) отсутствуют члены с F_0,2, но формально присутствуют члены с , тождественно равные нулю. В принципе, задача точного решения квазиполиномов Р_n,2 — (90), (93), (92) — и Р_n,1 — (100), (103), (102) — для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого цилиндра в рекуррентной форме может быть закончена. Oднако, можно записать эти решения в объединённой форме, для чего следует переписать в соответствующей форме ряды для Φ_i,1 и Φ_i,2 из формул (103) и (93) соответственно:

В объeдинённой форме точные решения данной задачи (для Р_n,1 — (100) и для Р_n,2 — (90)) будут выглядеть следующим образом:

3.1.3. Полый шар (peшение без использования чисел Бернулли B_n)

Kвазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого шара в рекуррентной форме получаются, исходя из решений, полученных для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого шара, т.е. формул (36) и (37). Решения получаются таким же образом, как и для плоской пластины (см. 3.1.1) или для полого цилиндра (см. 3.1.2). Квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для полого шара будут следующими:

                ;   (108)

                ;   (109)

                                      (110)

Для первых квазиполиномов Р_1,1 и Р_2,1 , Р_1,2 и Р_2,2 и т.д. для полого шара можно записать:

                           (111)

            (112)

 (113)

     

                                               (114)

                         (115)

           (116)

 (117)

             

                      +                (118)

Здесь удобно ввести локальные обозначения, cправедливые только для данного параграфа, чтобы в дальнейшем избежать разночтений при решении задачи:

                       (119)

                      (120)

Иными словами, функциями F_n,1 и F_n,2 в рамках данного параграфа обозначаются квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании граничного условия на внутренней поверхности полого шара из формул (36) и (37) соответственно. Сначала решим задачу для Р_n,2, поскольку она проще, чем для Р_n,1; решение первой задачи будет взята за основу для решения второй задачи. Перепишем антилапласианы Р_1,2 в следующем виде:

                                  

        

                                  (121)

В целях получения рекуррентного решения данной задачи перепишем последнее выражение следующим образом:

                              ,             (122)

где  . Последующие антилапласианы для квазиполиномов Р_n,2 будут такими:

  ,   (123)

где  ;

 

 ,           (124)

где  ;

                         

, ...; ...;       (125)

где .

Следовательно, антилапласианы n-oй степени для квазиполиномов Р_n,2 можно записать в следующем виде:

Как видно из формулы (126), для её решения используется как "прямая" рекуррентность, т.е. использование при выводе для текущего члена ряда предыдущих членов ряда, так и "частичная" рекуррентность, т.е. использование при выводе для текущего члена части этого же члена ряда. Teперь следует детерминировать функцию Φ_i,2. Для этого следует формализировать форму для них. Перепишем уравнение (122) для Φ_1,2 в виде, характерном для бóльших значений параметра i, а именно:

 .             (127)

Чтобы выражение Φ_1,2 из формулы (127) было тождественно равно его определению из (122), необходимо (поскольку F_{0,2 ­­}= 1 – 1/ ρ), чтобы:

 .                         (128)

После последней формализации можно записать замкнутое выражение для Φ_i,2:

Таким образом, выражения (126), (129), (128) дают точное решение задачи о квазиполиномах для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого шара в рекуррентной форме. Как видно, в решении для функций Φ_i,2 формально присутствуют члены с  Очевидно, что все этих членов нет, например, в (121)—(126). Это вполне естественно, поскольку в принятом представлении (93) для Φ_i,2 данные члены фиктивны и равны (поскольку ) нулю:  В решении для Р_n,2 (126) отсутствуют члены с Φ_0,2, но имеются члены с F_0,2. В решении для Φ_i,2 (129) отсутствуют члены с F_0,2, но формально присутствуют члены с , тождественно равные нулю. Теперь следует получить решение для квазиполиномов Р_n,1 , используя вышеприведённый метод решения и основываясь на уже имеющихся решениях для Р_n,2, F_n,1, F_n,2. Очевидно, что:

                (130)

Cложение (108) и (109) для первых членов даёт следующее выражение:

     

          

   . (131)

В целях получения выражения для Р_n,1 при рекуррентном решении данной задачи, перепишем последнее выражение таким же образом, как и при решении для квазиполиномов Р_n,2 , а именно:

                             ,             (132)

где  . Последующие антилапласианы для квазиполиномов Р_n,1 будут такими:

                    , (133)

где  ;

 (134)

 где  ;

     

                    , ..., ...,                (135)

где .

Следовательно, антилапласианы n-oй степени для квазиполиномов Р_n,1 можно записать в следующем виде:

Teперь следует детерминировать функцию Φ_i,1. Для этого следует формализировать форму для них. Перепишем уравнение (132) для Φ_1,1 в виде, характерном для бóльших значений параметра i, а именно:

 .               (137)

Чтобы выражение Φ_1,1 из формулы (137) было тождественно равно его определению из (132), необходимо (поскольку F_{0,2 ­­}= 1 – 1/ ρ), чтобы:

 .                        (138)

После последней формализации можно записать замкнутое выражение для Φ_i,1:

Таким образом, выражения (136), (139), (138) дают точное решение задачи о квазиполиномах для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого шара в рекуррентной форме. Как видно, в решении для функций Φ_i,1 формально присутствуют члены с  Очевидно, что все этих членов нет, например, в (131)—(139). Это вполне естественно, поскольку в принятом представлении (139) для Φ_i,1 данные члены фиктивны и равны (поскольку ) нулю:  В решении для Р_n,1 (136) отсутствуют члены с Φ_0,1, но имеются члены с F_0,2. В решении для Φ_i,1 (139) отсутствуют члены с F_0,2, но формально присутствуют члены с , тождественно равные нулю. В принципе, задача точного решения квазиполиномов Р_n,2 — (126), (129), (128) — и Р_n,1 — (136), (139), (138) — для обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого шара в рекуррентной форме может быть закончена. Oднако, можно записать эти решения в объединённой форме, для чего следует переписать в соответствующей форме ряды для Φ_i,1 и Φ_i,2 из формул (139) и (129) соответственно:

В объeдинённой форме точные решения данной задачи (для Р_n,1 — (136) и для Р_n,2 — (126)) будут выглядеть следующим образом:

 

 

3.2. Решения в рекуррентной форме для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для плоских пластин и полых шаров (тел одномерной геометрии) с граничными температурными условиями на обеих поверхностях при использовании чисел Бернулли

В пунктах 3.1.1 и 3.1.3 были получены решения в рекуррентной форме для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для плоских пластин и полых шаров т.е. тел одномерной геометрии, с граничными температурными условиями на обеих поверхностях с применением метода математической индукции без использования чисел Бернулли B_n. В данном разделе ставится задача получения рекуррентных решений при применении чисел Бернулли B_n.

3.2.1. Плоская пластина (peшение c использованием чисел Бернулли B_n)

B 3.1.1 были решены квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для плоской пластины: (40)-(50). Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для плоской пластины в рекуррентной форме при применении чисел Бернулли В_n:

 

где B_n — числа Бернулли:  ( — биномиальный коэффициент; число сочетаний из N по K) [25]. Например, несколько первых чисел Бернулли равны: В₀=1; В₁=–1/2; В₂=1/6; В₃=0; В₄=–1/30; В₅=0; В₆=1/42; В₇=0; В₈=–1/30; В₉=0; В₁₀=5/66; В₁₁=0; В₁₂=–691/2730; В₁₃=0; В₁₄=7/6; В₁₅=0; В₁₆=–3617/510; В₁₇=0; В₁₈=43867/798; В₁₉=0; В₂₀=–174611/330 ...

 Для последнего квазиполинома Р_n,2 можно провести перегруппировку и записать его в следующем виде:

3.3.2. Полый шар (peшение c использованием чисел Бернулли B_n)

B 3.1.3 были получены квазиполиномы Р_n,1 и Р_n,2 для полого шара: (108)—(118). Следовательно, используя метод математической индукции, можно записать квазиполиномы для решения обратной нестационарной задачи теплопроводности при задании температурных граничных условий на обеих граничных поверхностях для полого шара в рекуррентной форме при применении чисел Бернулли В_n:

Для заданных нестационарных температурных граничных условий на обеих поверхностях Θ_n,1 и Θ_n,2 рекуррентные соотношения равны:

 .                    (149) 

4. Выводы

1. Актуальность проблемы решения обратной линейной нестационарной задачи теплопроводности одномерной геометрической формы, полученные в данной работе в замкнутой рекуррентной форме, состоит в том, что имеет место возможность достаточной степенью точности восстанавливать граничные условия по измерениям датчика теплового потока.

2. В данной работе получены точные аналитические решения для нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела и полых цилиндров и сфер, полученные в рекуррентной форме. Peшения при граничных условиях на двух поверхностях для плоского тела и для полого шара были получены как с применением, так и без применения чисел Бернулли.

3. Полученная в работе рекуррентная форма записи решения нестационарной линейной обратной задачи теплопроводности для тел одномерной геометрии с граничными условиями на одной поверхности, а также на двух поверхностях для плоского тела, полого цилиндра и полой сферы, является решением в замкнутой форме с единых позиций, что не всегда возможно в явной форме.

4. С практической точки зрения полученные решения могут быть использованы при расчёте нестационарных полей температур и плотностей тепловых потоков для различных материалов, применяемых в авиационной и ракетно-космической технике, исходя из измеренных нестационарных граничных условиях на одной из сторон, а также на двух поверхностях для плоского тела, полого цилиндра и полой сферы.

5. Практическое применение в авиационной и ракетно-космической технике может быть реализовано при расчётах в целях нестационарной теплометрии и управления тепловыми нагрузками, идентификации процессов теплообмена в применяемых технических устройствах; оптимизацией проектных решений с учётом тепловых ограничений.

 

Список литературы:

1. Stefan J. Über die Theorie dir Eisbilding, insbesondere über die Eisbilding im Polarmeere // Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie Wiss., Wien., Math. — naturwiss. Kl. — 1890. — V. 98 (2a). — S. 956—973.
2. Бургграф О.Р. Точное решение обратной задачи в теории теплопроводности и её приложениях // Труды американского общества инженеров-механиков. Серия С: Теплопередача. — 1964. — № 3. — С. 94—106.
3. Langford D. New analytical Solutions of the One–Dimensional Heat Equation for Temperature are Heat Flow Rate Both Prescribed at the Same Fixed Boundary (with applications to the phase change problem) // Q. App. Math. — 1976. — 24 (4). — P. 315—322.
4. Имбер М., Кхан Д. Расчёт нестационарного распределения температуры на основании показаний тепмопар, расположенных внутри тела // Ракетная техника и космонавтика. — 1972. — № 2. — С. 83—90.
5. Тёмкин А.Г. Обратные задачи теплопроводности. — М.: Энергия, 1973. — 464 с.
6. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч., мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. — М.: Мир, 1989. — 312 с.
7. Кавтарадзе Р.З., Лапушкин Н.А., Лобанов И.Е. Исследование теплоизолирующего действия слоя нагара на поверхностях КС дизеля с использованием обратных и сопряжённых методов теплопроводности // Изв. вузов. Машиностроение. — 1997. — № 4—6. — С. 66—71.
8. Кавтарадзе Р.З., Лапушкин Н.А., Лобанов И.Е. Расчётно-экспериментальное исследование нестационарного теплообмена в камере сгорания быстроходного дизеля с учетом теплоизолирующего действия слоя нагара // Совершенствование мощностных, экономических и экологических показателей ДВС. Материалы VI международного научно-практического семинара. — Владимир, 1997. — С. 111—112.
9. Кавтарадзе Р.З., Лапушкин Н.А., Лобанов И.Е. Исследование теплоизолирующего действия слоя нагара с применением обратных и сопряжённых методов теплопроводности // Двигатель—97. Материалы международной научно-технической конференции. — М., 1997. — С. 25.
10. Лобанов И.Е. Аналитическое решение нелинейной обратной задачи теплопроводности для тела с низким коэффициентом теплопроводности одномерной геометрии // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Программа XII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леонтьева. — М.: МЭИ, 1999. — С. 10.
11. Лобанов И.Е. Точные аналитические решения нелинейной нестационарной обратной задачи теплопроводности для тела с низким коэффициентом теплопроводности // Известия вузов. Авиационная техника. — 2010. — № 3. — С. 72—74.
12. Лобанов И.Е. Обратная одномерная нелинейная задача теплопроводности: точные аналитические решения // Электронный научный журнал "Теплофизика и теплотехника". — 2012. — Выпуск 1(1). — Июль-Декабрь. — С. 3—12.
13. Лобанов И.Е. Точные аналитические решения нелинейной нестационарной обратной задачи теплопроводности для тел с низким коэффициентом теплопроводности одномерной геометрии // Альманах современной науки и образования. — Тамбов: Грамота, 2010. — № 8 (39). — C. 56—64.
14. Лобанов И.Е. Нелинейная нестационарная обратная задача теплопроводности для тел одномерной геометрии с низким коэффициентом теплопроводности: точные аналитические решения // Тепловые процессы в технике. — 2012. — Т. 4. — № 6. — С. 274—283.
15. Лобанов И.Е. Точные аналитические решения нелинейной нестационарной обратной задачи теплопроводности для тел с низким коэффициентом теплопроводности одномерной геометрии // Труды XIV Минского международного форума по тепломассообмену. — Минск, 2012. — Секция № 7. Общие вопросы тепломассообмена и теплопроводность.—Доклад № 1—19.— С. 1—11.
16. Лобанов И.Е. Точные аналитические решения нелинейной нестационарной обратной задачи теплопроводности для тел с низким коэффициентом теплопроводности одномерной геометрии // Тезисы докладов и сообщений XIV Минского международного форума по тепло- и массообмену. — Минск, 2012. — Т. 1. — Ч. 2. — С. 729—732.
17. Лобанов И.Е. Теоретико-экспериментальное детерминирование нестационарного температурного состояния слоя нагара в камерах сгорания тепловых двигателей // Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". — 2016. — № 40 (декабрь). — С. 194—206.
18. Лобанов И.Е. К вопросу детерминирования влияния медной плёнки в конструкции датчика поверхностной температуры на расчёт теплового состояния слоя нагара // Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". — 2017. — № 43 (март). — С. 142—148.
19. Лобанов И.Е., Парамонов Н.В. Измерение и моделирование тепловых нагрузок в камерах двигателей внутреннего сгорания. — М.: Издательство МАИ, 2012. — 160 с.
20. Лобанов И.Е., Доценко А.И. Влияние слоя нагара на поверхностях камер сгорания на параметры рабочего тела // Механизация строительства. — 2009. — № 5. — С. 23—26.
21. Лобанов И.Е. Теоретическое определение максимального воздействия слоя нагара на поверхности камеры сгорания на нестационарные параметры рабочего тела при радиационно-конвективном теплообмене // Mосковское научное обозрение. — 2013. — № 9. — С. 11—15.
22. Лобанов И.Е. Расчётно-экспериментальная методика косвенного измерения толщины слоя нагара на поверхностях камер сгорания тепловых двигателей // Электронный периодический рецензируемый научный журнал "SCI-ARTICLE.RU". — 2016. — № 38 (oктябрь). — С. 96—100.
23. Белозёров Г.А., Лобанов И.Е. Применение теплоизоляционной упаковки для стабилизации температурных режимов хранения скоропортящихся продуктов // Актуальные проблемы современной науки. — 2012. — № 2. — С. 193—200.
24. Лобанов И.Е. Теория теплообмена теплоизоляционной упаковки для стабилизации температурных режимов хранения скоропортящихся продуктов // Электронный научный журнал "Исследования технических наук". — 2011. — Июль. — Выпуск 1. — Том 1. — С. 3—10.
25. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Издательство "Наука". Главная редакция физико-математической литературы, 1965. — 296 с.